17 Use multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos locais de
, sugeitos aos vínculos
e
. Verifique seu resultado usando métodos de uma variável.
Passo 1
O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange e encontrar os extremos locais de f(x,y,z)=4x²+y²+z² sujeitos às restrições lineares 2x−y+z=4 e x+2y−z=1. O conteúdo é otimização com restrições usando Lagrange e depois verificação por redução a uma única variável.
Passo 2
Formamos a Lagrangeana
Derivamos parcialmente e igualamos a zero para obter as condições de estacionariedade:
junto com as restrições
Passo 3
Da primeira, segunda e terceira equações isolamos x, y e z em função de λ e μ:
Substituindo nas restrições obtemos o sistema linear em λ e μ:
Resolvendo, achamos
e então
Passo 4
Como f é função quadrática estritamente convexa (sua hessiana é positiva definida), qualquer ponto crítico encontrado é um mínimo global (logo mínimo local).
Passo 5
Para verificar por uma variável, expressamos y e z em função de x: da primeira restrição z=4-2x+y, da segunda y=5-3x, logo z=9-5x. Substituindo em f:
Derivando
e como
é mínimo local, conferindo as coordenadas obtidas.
Passo 6
Concluindo, existe um único extremo local, que é um mínimo em (30/19,5/19,21/19).
Resposta
Mínimo local em
.