17 Use multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos locais de f(x, y, z)=4 x^2+y^2+z^2, sugeitos aos vínculos 2 x-y+z=4 e x+2 y-z=1. Verifique seu resultado usando métodos de uma variável.

Passo 1

O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange e encontrar os extremos locais de f(x,y,z)=4x²+y²+z² sujeitos às restrições lineares 2x−y+z=4 e x+2y−z=1. O conteúdo é otimização com restrições usando Lagrange e depois verificação por redução a uma única variável.

Passo 2

Formamos a Lagrangeana
L(x,y,z,lambda,mu)=4x^2+y^2+z^2+lambda(2x-y+z-4)+mu(x+2y-z-1)
Derivamos parcialmente e igualamos a zero para obter as condições de estacionariedade:
8x+2lambda+mu=0,
2y-lambda+2mu=0,
2z+lambda-mu=0,
junto com as restrições
2x-y+z=4,
x+2y-z=1

Passo 3

Da primeira, segunda e terceira equações isolamos x, y e z em função de λ e μ:
x=-2lambda+mu8,
y=lambda-2mu2,
z=mu-lambda2
Substituindo nas restrições obtemos o sistema linear em λ e μ:
-6lambda+5mu=16,
10lambda-21mu=8
Resolvendo, achamos
lambda=-9419,mu=-5219
e então
x=3019, y=519, z=2119

Passo 4

Como f é função quadrática estritamente convexa (sua hessiana é positiva definida), qualquer ponto crítico encontrado é um mínimo global (logo mínimo local).

Passo 5

Para verificar por uma variável, expressamos y e z em função de x: da primeira restrição z=4-2x+y, da segunda y=5-3x, logo z=9-5x. Substituindo em f:
f(x)=4x^2+(5-3x)^2+(9-5x)^2=38x^2-120x+106
Derivando
f'(x)=76x-120=0implies x=3019,
e como
f''(x)=76>0,
é mínimo local, conferindo as coordenadas obtidas.

Passo 6

Concluindo, existe um único extremo local, que é um mínimo em (30/19,5/19,21/19).

Resposta

Mínimo local em l(tfrac3019,tfrac519,tfrac2119r).

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