Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
integral cos ^3 x d x

Passo 1

Resumo rápido: a gente precisa calcular integral cos^3 x,dx usando integração por partes, que é aquela técnica que diz integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Vamos escolher as partes. Uma boa estratégia é pegar u = cos^2 x (porque sua derivada fica simples) e dv = cos x,dx.

Passo 3

Calculando du e v:
Derivada de u:
du = d(cos^2 x) = 2cos x cdot (-sin x),dx = -2cos xsin x,dx
Integral de dv:
v = integral cos x,dx = sin x

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral cos^3 x,dx = integral u,dv = u,v - integral v,du
ou seja
integral cos^3 x,dx = cos^2 xsin x - integral sin x l(-2cos xsin xr),dx
Simplificando o sinal:
= cos^2 xsin x + 2integral sin^2 xcos x,dx

Passo 5

A integral que sobrou é integral sin^2 xcos x,dx. Use sin^2 x = 1 - cos^2 x:
integral sin^2 xcos x,dx = integral (1 - cos^2 x)cos x,dx = integral cos x,dx - integral cos^3 x,dx
Chamando I = integral cos^3 x,dx, temos
I = cos^2 xsin x + 2l(sin x - Ir)
ou
I = cos^2 xsin x + 2sin x - 2I
Logo
3I = cos^2 xsin x + 2sin x
Portanto
I = 13sin xcos^2 x + 23sin x + C

Passo 6

Para simplificar, note que cos^2 x = 1 - sin^2 x. Assim:
I = 13sin x(1 - sin^2 x) + 23sin x + C = sin x - 13sin^3 x + C
Agora é só derivar para conferir: derivando sin x - tfrac13sin^3 x cos x - sin^2 xcos x = cos x(1 - sin^2 x) = cos^3 x, certo!

Resposta

integral cos^3 x,dx = sin x - tfrac13sin^3 x + C

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