O enunciado pede para verificar a continuidade da função
O conteúdo envolve continuidade de funções de duas variáveis e limite em duas variáveis. Vamos precisar usar a definição de limite em (0,0), argumento de composição de funções para pontos fora da origem e mudança para coordenadas polares no teste em (0,0).
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) temos que x^2+y^2 é diferente de zero, e tanto sin(xy) quanto a função que associa (x,y)mapsto x^2+y^2 são contínuas. Logo, quociente de contínuas com denominador não nulo implica que f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Para verificar continuidade em (0,0), calculamos
lim(x,y)to(0,0)sin(xy)x^2+y^2
Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Então xy=r^2costhetasintheta e x^2+y^2=r^2. Substituindo,
sin(xy)x^2+y^2=sinl(r^2costhetasinthetar)r^2
Escrevendo u=r^2costhetasintheta, temos
sin(u)r^2=sin(u)u,ur^2=sin(u)u,costhetasintheta
Quando rto0, também uto0 e sin(u)/uto1. O limite fica
limrto0sin(xy)x^2+y^2=costhetasintheta,
que depende de theta.
Passo 4
Como o valor de costhetasintheta muda com a direção theta (por exemplo, vale 0 para theta=0 e 1/2 para theta=pi/4), o limite não existe em (0,0). Portanto f não é contínua em (0,0).
Resposta
A função é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e não é contínua em (0,0).