Verifique se llsin x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(x,y)= dfracsin(xy)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo envolve continuidade de funções de duas variáveis e limite em duas variáveis. Vamos precisar usar a definição de limite em (0,0), argumento de composição de funções para pontos fora da origem e mudança para coordenadas polares no teste em (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos que x^2+y^2 é diferente de zero, e tanto sin(xy) quanto a função que associa (x,y)mapsto x^2+y^2 são contínuas. Logo, quociente de contínuas com denominador não nulo implica que f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para verificar continuidade em (0,0), calculamos
lim(x,y)to(0,0)sin(xy)x^2+y^2
Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Então xy=r^2costhetasintheta e x^2+y^2=r^2. Substituindo,
sin(xy)x^2+y^2=sinl(r^2costhetasinthetar)r^2
Escrevendo u=r^2costhetasintheta, temos
sin(u)r^2=sin(u)u,ur^2=sin(u)u,costhetasintheta
Quando rto0, também uto0 e sin(u)/uto1. O limite fica
limrto0sin(xy)x^2+y^2=costhetasintheta,
que depende de theta.

Passo 4

Como o valor de costhetasintheta muda com a direção theta (por exemplo, vale 0 para theta=0 e 1/2 para theta=pi/4), o limite não existe em (0,0). Portanto f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e não é contínua em (0,0).

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