Considere a função
f(x, y)=x^x^x^x^y+ln (x)(arctg(arctg(arctg(sen(cos (x y))-ln (x+y)))))
Calcule partial fpartial y(1, y).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de

em f(x,y)=x^x^x^x^y+ln(x)l(arctg(arctg(arctg(sin(cos(xy))-ln(x+y))))r). O conteúdo principal é derivada parcial em funções compostas, usando regra da cadeia e propriedades de potências e logaritmo.

Passo 2

Vamos separar a função em duas parcelas:
A(x,y)=x^x^x^x^y, B(x,y)=ln(x),g(x,y),
onde
Em seguida calculamos g(x,y)=arctgl(arctg(arctg(sin(cos(xy))-ln(x+y)))r) e partial A/partial y e somamos.

Passo 3

Para B(x,y)=ln(x),g(x,y), note que x é constante ao derivar em relação a y. Logo
$$\frac{\partial B}{\partial y}(x,y)=\ln(x),\frac{\partial g}{\partial y}(x,y).
partial Bpartial y(x,y)=ln(x),partial gpartial y(x,y) \frac{\partial B}{\partial y}(1,y)=0.$$

Passo 4

Para A(x,y)=x^H(x,y) com H(x,y)=x^x^x^y, use a forma exponencial:
A(x,y)=e^ln(x),H(x,y)
Assim
$$\frac{\partial A}{\partial y}(x,y)=A(x,y)\bigl(\ln(x),\frac{\partial H}{\partial y}(x,y)\bigr).
partial Apartial y(x,y)=A(x,y)l(ln(x),partial Hpartial y(x,y)r) ã\frac{\partial A}{\partial y}(1,y)=1\cdot0\cdot\frac{\partial H}{\partial y}(1,y)=0.$$

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
partial fpartial y(1,y)=partial Apartial y(1,y)+partial Bpartial y(1,y)=0+0=0

Resposta

0

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