Verifique se llx^3 y^2x y & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) é contínua.

Passo 1

Temos a função por partes
f(x,y)=x^3y^2xy&se (x,y)neq(0,0)0&se (x,y)=(0,0)
Queremos verificar continuidade em todo o domínio. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e o fato de que polinômios são contínuos.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) podemos cancelar xy no numerador e denominador, pois xyneq0. Então
f(x,y)=x^3y^2/(xy)=x^2y
A expressão x^2y é um polinômio em x,y. Sabemos que funções polinomiais são contínuas em todo R^2. Logo f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Agora analisamos a continuidade em (0,0). Calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=lim(x,y)to(0,0)x^2y
Usando a desigualdade
|x^2y|=x^2,|y|<= r^2,r=r^3,
onde r=raizx^2+y^2. Como rto0 implica r^3to0, o limite vale 0.

Passo 4

Visto que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), concluímos que f é contínua também em (0,0). Portanto f é contínua em todo R^2.

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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