19- Dada uma função F: M_{2 x 2}(R) \rightarrow R definida por F\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right], analizar se é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado nos dá a função F\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R} definida por
F\Bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\Bigr)=\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}.
Vamos verificar se F satisfaz as duas propriedades de transformação linear: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Testamos a aditividade, i.e., se vale
F(A+B)=F(A)+F(B).
Escolhemos
A=I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad B=I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Então
F(A)=\det(I)=1, \quad F(B)=\det(I)=1, \quad A+B=2I,
e
F(A+B)=\det(2I)=2^2\det(I)=4.
Como 4\neq 1+1=2, a aditividade falha.

Passo 3

Verificamos também a homogeneidade, i.e., se vale
F(\lambda A)=\lambda\,F(A)
para todo \lambda\in\mathbb{R}. De fato,
F(\lambda A)=\det(\lambda A)=\lambda^2\det(A)=\lambda^2F(A),
que em geral não coincide com \lambda F(A) (exceto em casos especiais como \lambda=0,1 ou \det(A)=0). Logo, a homogeneidade falha também.

Passo 4

Como F não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade, concluímos que F não é transformação linear.

Resposta

F não é transformação linear.

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