Considere o paralelogramo A B C D. Seja P o ponto em que as diagonais A C e D B se cruzam e seja G o ponto da diagonal A C tal que 2 \overrightarrow{A G}=3 \overrightarrow{G C}.
Dados A=(1,1,1), B=(3,0,-1) e \overrightarrow{A P}=(-1,1,2), determine as coordenadas dos pontos P, C, D e G.

Passo 1

O enunciado nos dá um paralelogramo ABCD com A=(1,1,1), B=(3,0,-1) e o vetor \overrightarrow{AP}=(-1,1,2). Pede-se as coordenadas de P, C, D e de G, sendo P o ponto de interseção das diagonais (que se bissetam) e G dividido em AC pela relação 2\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{GC}. Vamos usar:
  1. Soma de vetores para achar P.
  2. Propriedade de que diagonais de paralelogramo se cortam ao meio para achar C e D.
  3. Razão de divisão de segmento para achar G.

Passo 2

Para encontrar P basta somar A com \overrightarrow{AP}:
P \;=\; A + \overrightarrow{AP} \;=\; (1,1,1) + (-1,1,2) \;=\; (0,2,3).

Passo 3

Como em todo paralelogramo as diagonais se bissetam em P, temos
P = \frac{A + C}{2} \quad\Longrightarrow\quad C = 2P - A.
Logo,
C = 2(0,2,3) - (1,1,1) = (-1,3,5).

Passo 4

De modo análogo, a diagonal BD também é bissetada em P, então
P = \frac{B + D}{2} \quad\Longrightarrow\quad D = 2P - B.
Logo,
D = 2(0,2,3) - (3,0,-1) = (-3,4,7).

Passo 5

O ponto G divide AC tal que
2\,\overrightarrow{AG} = 3\,\overrightarrow{GC}.
Chamando \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}, dessa relação obtemos
\overrightarrow{AG} = \frac{3}{5}\,\overrightarrow{AC}.
Assim
G = A + \overrightarrow{AG} = A + \frac{3}{5}(C - A) = \frac{3C + 2A}{5} = \frac{1}{5}\bigl(3(-1,3,5) + 2(1,1,1)\bigr) = \Bigl(-\tfrac{1}{5},\tfrac{11}{5},\tfrac{17}{5}\Bigr).

Resposta

P=(0,2,3)
C=(-1,3,5)
D=(-3,4,7)
G=\bigl(-\tfrac{1}{5},\tfrac{11}{5},\tfrac{17}{5}\bigr)

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