Teorema: (Intersecção de subespaços): Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial v, a intersecção W1nW2 ainda é um subespaço de
.
EXEMPLO: Em R
consideremos os subespaços abaixo:
EXEMPLO: Em R
Passo 1
O enunciado apresenta dois subespaços de
:
O objetivo implícito é determinar a interseção
e mostrar, pelo teorema, que ela também é um subespaço de
. Vamos resolver impondo simultaneamente todas as restrições.
Passo 2
Para
Esse é um sistema de equações lineares que vamos resolver em (\mathbb{R}^4].
Passo 3
Use a condição
no primeiro membro:
Como
em
, segue que
. Logo, a única liberdade que sobra é escolher
(e então
) arbitrariamente.
Passo 4
Concluímos que todo vetor de
é da forma
Isto é
Como é o span de um vetor não-nulo,
é de dimensão
e, portanto, de fato um subespaço de
.