Teorema: (Intersecção de subespaços): Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial v, a intersecção W1nW2 ainda é um subespaço de V.
EXEMPLO: Em R R^4 consideremos os subespaços abaixo:
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+z=0 e W=(x, y, z, t) in R^4 ; x=y e z=t

Passo 1

O enunciado apresenta dois subespaços de R^4:
U=(x,y,z,t)inR^4mid x - y + z = 0,
W=(x,y,z,t)inR^4mid x = y,; z = t
O objetivo implícito é determinar a interseção Ucap W e mostrar, pelo teorema, que ela também é um subespaço de R^4. Vamos resolver impondo simultaneamente todas as restrições.

Passo 2

Para
Esse é um sistema de equações lineares que vamos resolver em (\mathbb{R}^4].

Passo 3

Use a condição x = y no primeiro membro:
x - y + z = 0 Longrightarrow y - y + z = 0 Longrightarrow z = 0
Como z = t em W, segue que t = 0. Logo, a única liberdade que sobra é escolher x (e então y=x) arbitrariamente.

Passo 4

Concluímos que todo vetor de Ucap W é da forma
(x,y,z,t) = (s,,s,,0,,0), sinR
Isto é
Ucap W = , (s,s,0,0)mid sinR = span(1,1,0,0)
Como é o span de um vetor não-nulo, Ucap W é de dimensão 1 e, portanto, de fato um subespaço de R^4.

Resposta

Ucap W = (s,s,0,0)mid sinR, com base (1,1,0,0)

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