Suponha que
e
satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes e que
e
tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Use os Exercícios 24 e 26 da Seção 16.5 para demonstrar o seguinte:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, assumindo que
é uma superfície orientada com borda
e que
são funções
. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao fluxo de seu rotacional sobre
.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
. Nosso objetivo é calcular o rotacional
e mostrar que ele é zero em toda
.
Passo 3
Para calcular
, usamos a regra do rotacional de um produto escalar por um campo (Exercício 24):
Tomando
e
, e lembrando que
(rotacional de gradiente), obtemos
Passo 4
De modo análogo, para
temos
Mas como o produto vetorial é anticomutativo,
.
Passo 5
Somando os dois resultados, o rotacional de
é
Ou seja,
se anula em toda
.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes, temos
Isso conclui a demonstração.
Resposta
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