Suponha que S e C satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes e que f e g tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Use os Exercícios 24 e 26 da Seção 16.5 para demonstrar o seguinte:
integralC(f nabla g+g nabla f) cdot d r=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que integralC(f,nabla g + g,nabla f)cdot d r = 0, assumindo que S é uma superfície orientada com borda C e que f,g são funções C^2. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao fluxo de seu rotacional sobre S.

Passo 2

Definimos o campo vetorial F = f,nabla g + g,nabla f. Nosso objetivo é calcular o rotacional nablatimes F e mostrar que ele é zero em toda S.

Passo 3

Para calcular nablatimes(f,nabla g), usamos a regra do rotacional de um produto escalar por um campo (Exercício 24):
nablatimes(phi, A) = nablaphi times A + phi,(nablatimes A)
Tomando phi=f e A=nabla g, e lembrando que nablatimes(nabla g)=0 (rotacional de gradiente), obtemos
nablatimes(f,nabla g) = nabla f times nabla g + f,(nablatimes(nabla g)) = nabla f times nabla g

Passo 4

De modo análogo, para g,nabla f temos
nablatimes(g,nabla f) = nabla g times nabla f + g,(nablatimes(nabla f)) = nabla g times nabla f
Mas como o produto vetorial é anticomutativo, nabla g times nabla f = -,(nabla f times nabla g).

Passo 5

Somando os dois resultados, o rotacional de F é
nablatimes F = nablatimes(f,nabla g) + nablatimes(g,nabla f) = (nabla f times nabla g) + (nabla g times nabla f) = 0
Ou seja, nablatimes F se anula em toda S.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes, temos
integralC Fcdot d r = integral duplaS(nablatimes F)cdot d S = integral duplaS0cdot d S = 0
Isso conclui a demonstração.

Resposta

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