Em 1790, a população dos Estados Unidos era de 3,93 milhões e em 1890 era de 62,98 milhões. Usando o modelo malthusiano, encontre uma equação que modele a população norte-americana como uma função do tempo P(t). Calcule também a população dos Estados Unidos em 1990.
Thomas R. Malthus (1766-1834) foi um economista britânico que estudou os modelos de população.
Nota: a população dos Estados Unidos conforme dada pelo U.S. Bureau of the Census e a população prevista pelo modelo malthusiano mostrou que as previsões baseadas no modelo malthusiano estão de acordo com os dados do censo até cerca de 1900. Após 1900, a população prevista é muito grande, e o modelo malthusiano é inaceitável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa modelar a população dos Estados Unidos usando o modelo malthusiano, que basicamente assume que a população cresce de forma exponencial. Para isso, vamos precisar dos dados que você deu: a população em 1790 e em 1890. Vamos encontrar uma equação que descreva essa população ao longo do tempo e, depois, calcular a população em 1990 usando essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o modelo malthusiano. Esse modelo diz que a população em qualquer tempo pode ser representada pela fórmula:
Onde:
  • é a população no tempo .
  • é a população inicial.
  • é a taxa de crescimento.
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).

Passo 3

Vamos definir o que é nessa fórmula. Normalmente, representa o tempo que passou desde um ponto de referência. Aqui, vamos considerar no ano de 1790. Assim, para 1890, anos, e para 1990, anos.

Passo 4

Agora, vamos usar os dados que temos para encontrar os valores de e .
Sabemos que:
  • Em 1790 ( ), milhões.
  • Em 1890 ( ), milhões.
A primeira coisa que podemos ver é que é a população inicial, então:

Passo 5

Vamos usar o segundo dado para encontrar . Substituindo na fórmula:
Para resolver essa equação para , vamos seguir esses passos:
  1. Divida os dois lados por 3,93:
  1. Agora, aplique o logaritmo natural em ambos os lados para “tirar” o expoente:
  1. Resolva para :
Calculando:

Passo 6

Com e encontrados, podemos escrever a equação que modela a população:

Passo 7

Agora, vamos calcular a população em 1990, que corresponde a anos desde 1790.
Substituindo na equação:
Calculando o expoente:
Então:
Calculando :
Portanto:

Resposta

A equação que modela a população dos Estados Unidos é:
E a população em 1990, conforme o modelo malthusiano, seria aproximadamente 1006,7 milhões.

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