Em 1790, a população dos Estados Unidos era de 3,93 milhões e em 1890 era de 62,98 milhões. Usando o modelo malthusiano, encontre uma equação que modele a população norte-americana como uma função do tempo
. Calcule também a população dos Estados Unidos em 1990.
Thomas R. Malthus (1766-1834) foi um economista britânico que estudou os modelos de população.
Nota: a população dos Estados Unidos conforme dada pelo U.S. Bureau of the Census e a população prevista pelo modelo malthusiano mostrou que as previsões baseadas no modelo malthusiano estão de acordo com os dados do censo até cerca de 1900. Após 1900, a população prevista é muito grande, e o modelo malthusiano é inaceitável.
Thomas R. Malthus (1766-1834) foi um economista britânico que estudou os modelos de população.
Nota: a população dos Estados Unidos conforme dada pelo U.S. Bureau of the Census e a população prevista pelo modelo malthusiano mostrou que as previsões baseadas no modelo malthusiano estão de acordo com os dados do censo até cerca de 1900. Após 1900, a população prevista é muito grande, e o modelo malthusiano é inaceitável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa modelar a população dos Estados Unidos usando o modelo malthusiano, que basicamente assume que a população cresce de forma exponencial. Para isso, vamos precisar dos dados que você deu: a população em 1790 e em 1890. Vamos encontrar uma equação que descreva essa população ao longo do tempo e, depois, calcular a população em 1990 usando essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o modelo malthusiano. Esse modelo diz que a população em qualquer tempo
pode ser representada pela fórmula:
Onde:
-
é a população no tempo . -
é a população inicial. -
é a taxa de crescimento. -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
Passo 3
Vamos definir o que é
nessa fórmula. Normalmente,
representa o tempo que passou desde um ponto de referência. Aqui, vamos considerar
no ano de 1790. Assim, para 1890,
anos, e para 1990,
anos.
Passo 4
Agora, vamos usar os dados que temos para encontrar os valores de
e
.
Sabemos que:
- Em 1790 (
), milhões. - Em 1890 (
), milhões.
A primeira coisa que podemos ver é que
é a população inicial, então:
Passo 5
Vamos usar o segundo dado para encontrar
. Substituindo na fórmula:
Para resolver essa equação para
, vamos seguir esses passos:
- Divida os dois lados por 3,93:
- Agora, aplique o logaritmo natural em ambos os lados para “tirar” o expoente:
- Resolva para
:
Calculando:
Passo 6
Com
e
encontrados, podemos escrever a equação que modela a população:
Passo 7
Agora, vamos calcular a população em 1990, que corresponde a
anos desde 1790.
Substituindo na equação:
Calculando o expoente:
Então:
Calculando
:
Portanto:
Resposta
A equação que modela a população dos Estados Unidos é:
E a população em 1990, conforme o modelo malthusiano, seria aproximadamente 1006,7 milhões.