Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
. Nosso objetivo é:
- Escrever os primeiros cinco termos dessa sequência.
- Determinar se a sequência converge ou diverge.
- Se convergir, encontrar o limite.
Para resolver isso, precisamos entender como uma sequência é definida e os conceitos de convergência e limite.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros cinco termos da sequência:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos determinar se a sequência converge ou diverge.
Uma sequência converge se, à medida que
aumenta indefinidamente, os termos se aproximam de um certo valor, chamado de limite. Se não se aproximar de nenhum valor específico, ela diverge.
Passo 4
Para encontrar o limite da sequência
, vamos analisar o termo
.
À medida que
tende ao infinito,
cresce muito rapidamente, fazendo com que
se aproxime de 0. Além disso,
oscila entre -1 e 1, mas como está dividido por
, esse termo inteiro converge para 0.
Portanto, o limite de
é:
Resposta
Os primeiros cinco termos da sequência são: 2,5; 3,25; 2,875; 3,0625; 2,96875. A sequência converge e o seu limite é 3.