Seja
dada por
a) A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
é contínua em
. A função é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa continuidade de uma função e como verificar isso em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se três condições forem verdadeiras:
- A função está definida em
, ou seja, existe. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde
.
1. Verificar se
existe:
Como está na parte da função onde
, usamos a primeira definição:
Como
Então,
existe.
Passo 4
2. Verificar o limite de
quando
se aproxima de 1:
Temos que considerar os limites pela esquerda (
) e pela direita (
).
Limite pela esquerda (
):
Aqui, usamos a definição quando :
Aqui, usamos a definição quando
Limite pela direita (
):
Aqui, usamos a definição quando :
Aqui, usamos a definição quando
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite geral existe e é 5.
Passo 5
3. Comparar o limite com o valor da função em 1:
Como os dois são iguais, a terceira condição de continuidade é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
porque o limite de
quando
se aproxima de 1 é igual ao valor da função em 1.