Seja f: → dada por
f(x) = { (2 - 7x) / (x - 2), se x ≥ 1 ; 6x - 1, se x < 1 }
a) A função f é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função é contínua em . A função é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa continuidade de uma função e como verificar isso em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem verdadeiras:
  1. A função está definida em , ou seja, existe.
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde .
1. Verificar se existe:
Como está na parte da função onde , usamos a primeira definição:
Então, existe.

Passo 4

2. Verificar o limite de quando se aproxima de 1:
Temos que considerar os limites pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Limite pela esquerda ( ):
Aqui, usamos a definição quando :
Limite pela direita ( ):
Aqui, usamos a definição quando :
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite geral existe e é 5.

Passo 5

3. Comparar o limite com o valor da função em 1:
Como os dois são iguais, a terceira condição de continuidade é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é contínua em porque o limite de quando se aproxima de 1 é igual ao valor da função em 1.

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