Seja
definida por
a) Podemos definir uma função
tal que
para todo
e tal que
seja contínua? Se sim, determine
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função
definida por:
para todo
no intervalo
, exceto quando
. A matéria que estamos trabalhando aqui é análise de funções, mais especificamente sobre continuidade. Nosso objetivo é verificar se podemos ajustar a função
para que ela seja contínua em todo o seu domínio, incluindo o ponto
. Para isso, vamos precisar calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que a função
não está definida em
. Olhando para o denominador
, vemos que quando
, ele se torna zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Para tornar a função contínua, precisamos preencher esse “buraco” definindo
de maneira que a função não tenha interrupções.
Passo 3
Para preencher esse buraco, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Calculando esse limite, podemos definir
como esse valor, garantindo que a função seja contínua.
Passo 4
Vamos calcular o limite passo a passo. Substituindo
por
:
Obtemos uma forma indeterminada
, então precisamos simplificar a expressão para resolver.
Passo 5
Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
Simplificando:
Agora, fatoramos o numerador:
Substituindo de volta:
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e denominador, já que
.
Passo 6
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada quando
se aproxima de
:
Então, o limite existe e é igual a
.
Resposta
Sim, podemos definir uma função
contínua em todo o domínio. A função ajustada é: