Seja f: [-15/2, ∞) \ {-3} → definida por
f(x) = (x + raiz(2x + 15)) / (x + 3)
a) Podemos definir uma função f: [-15/2) -> tal que f tilde(x) = f(x) para todo x != -3 e tal que f tilde seja contínua? Se sim, determine f tilde.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida por:
para todo no intervalo , exceto quando . A matéria que estamos trabalhando aqui é análise de funções, mais especificamente sobre continuidade. Nosso objetivo é verificar se podemos ajustar a função para que ela seja contínua em todo o seu domínio, incluindo o ponto . Para isso, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a função não está definida em . Olhando para o denominador , vemos que quando , ele se torna zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Para tornar a função contínua, precisamos preencher esse “buraco” definindo de maneira que a função não tenha interrupções.

Passo 3

Para preencher esse buraco, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Calculando esse limite, podemos definir como esse valor, garantindo que a função seja contínua.

Passo 4

Vamos calcular o limite passo a passo. Substituindo por :
Obtemos uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão para resolver.

Passo 5

Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
Simplificando:
Agora, fatoramos o numerador:
Substituindo de volta:
Agora, podemos cancelar o termo no numerador e denominador, já que .

Passo 6

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada quando se aproxima de :
Então, o limite existe e é igual a .

Resposta

Sim, podemos definir uma função contínua em todo o domínio. A função ajustada é:

Exercícios relacionados