17A. 1 Determinação da difusividade binária a baixas densidades. Determine o valor de mathscr{Q}_{A B} para o sistema metanoetano a 193 Ke 1 atm pelos seguintes métodos:
A relaçăo de Chapman-Enskog (Eq. 17.3-2) com os parâmetros de Lennard-Jones estimados a partir de valores das propriedades críticas.

Passo 1

O enunciado pede a difusividade binária \mathscr{Q}_{AB} (ou D_{AB}) do par metano–etano a T=193,K e p=1,atm usando a relação de Chapman–Enskog (Eq. 17.3-2). Para isso precisamos:
– Estimar os parâmetros de Lennard-Jones \sigma_i e \varepsilon_i/k_B de cada componente a partir das propriedades críticas;
– Calcular os parâmetros mistos \sigma_{AB}, \varepsilon_{AB} por regra de mistura;
– Calcular a integral de colisão \Omega_D a partir da temperatura reduzida T^*=k_B T/\varepsilon_{AB};
– Aplicar a Eq. 17.3-2 para obter D_{AB}.

Passo 2

Estimativa dos parâmetros de Lennard-Jones a partir de dados críticos (valores típicos de Reid et al.): \displaystyle T_{c,A} =190{,}6,K, \,P_{c,A}=45{,}99,bar → \displaystyle \sigma_A =3{,}736,Å, \;\varepsilon_A/k_B =148{,}6,K. \displaystyle T_{c,B} =305{,}3,K, \,P_{c,B}=48{,}72,bar → \displaystyle \sigma_B =4{,}443,Å, \;\varepsilon_B/k_B =214{,}7,K.

Passo 3

Regra de mistura de Lorentz–Berthelot:
\sigma_{AB} = \frac{\sigma_A + \sigma_B}{2} = \frac{3{,}736 + 4{,}443}{2} =4{,}0895\text{ Å},Å
\varepsilon_{AB}/k_B = \sqrt{\bigl(\varepsilon_A/k_B\bigr)\bigl(\varepsilon_B/k_B\bigr)} = \sqrt{148{,}6 \times 214{,}7} =178{,}7\text{ K}.
Temperatura reduzida
T^* = \frac{T}{\varepsilon_{AB}/k_B} = \frac{193}{178{,}7} =1{,}08.
Da tabela ou correlações para \Omega_D a T^*=1{,}08 obtemos \Omega_D\approx1{,}07.

Passo 4

A Eq. 17.3-2 em unidades práticas (c m^{2}/s) é
D_{AB} = \frac{0{,}001858\,T^{3/2}} {p\,\sigma_{AB}^2\,\Omega_D\,\sqrt{M_{AB}}}
onde T em K, p em atm, \sigma_{AB} em Å, M_{AB} em g/mol e
M_{AB} = \frac{2\,M_A\,M_B}{M_A+M_B} = \frac{2\times16\times30}{16+30} =20{,}87\text{ g/mol}.
Substituindo:
T^{3/2} =193^{1{,}5} \approx2680, \quad \sigma_{AB}^2 =4{,}0895^2 \approx16{,}72, \quad \sqrt{M_{AB}} =\sqrt{20{,}87}\approx4{,}57.
D_{AB} = \frac{0{,}001858\times2680} {1\times16{,}72\times1{,}07\times4{,}57} \approx \frac{4{,}98}{81{,}7} \approx0{,}061\text{ cm}^2\!/s.
Convertendo para m^{2}/s:
D_{AB}\approx0{,}061\times10^{-4} =6{,}1\times10^{-6}\text{ m}^2\!/s.

Resposta

O valor de \mathscr{Q}_{AB} (ou D_{AB}) obtido é aproximadamente
6{,}1\times10^{-6}\,\text{m}^2\!/s.

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