1.6 Um vertedor triangular é uma abertura feita em uma placa de metal ou madeira, colocada verticalmente na seção reta de um canal aberto. A água do canal é forçada a escoar pela abertura do vertedor. A vazão medida pelo vertedor é função da elevação (carga) H da corrente a montante do vertedor, medida acima da soleira, da aceleração da gravidade g , do ângulo de abertura do triângulo a e da velocidade de aproximação da água para o vertedor Vo; esta última variável Vo, é algumas vezes desprezível. Determine, usando o teorema dos lls, a equação da vazão Q em função das demais variáveis.
\mathrm{Q}=\sqrt{\mathrm{g}} \cdot \mathrm{H}^{3 / 2} \cdot \Phi\left(\frac{\mathrm{~V}_{0}}{\sqrt{\mathrm{gH}}}, \alpha\right)

Passo 1

O enunciado pede a forma funcional da vazão Q em função da carga H, da gravidade g, do ângulo de abertura \alpha e da velocidade de aproximação V_0, usando o teorema dos \Pi (Buckingham). Trata-se de análise dimensional para encontrar grupos adimensionais que relacionem essas variáveis.

Passo 2

Listamos as variáveis com suas dimensões:
Q: vazão \implies [Q]=L^3T^{-1}
g: aceleração da gravidade \implies [g]=LT^{-2}
H: carga (altura) \implies [H]=L
V_0: velocidade de aproximação \implies [V_0]=LT^{-1}
\alpha: ângulo de abertura (adimensional)
Os fundamentos dimensionais são L e T, logo k=2.

Passo 3

Temos N=5 variáveis e k=2 dimensões, de modo que o número de grupos adimensionais é
M = N - k = 5 - 2 = 3.

Passo 4

Escolhemos como variáveis repetidas g e H, pois suas dimensões combinam L e T.

Passo 5

Definimos o primeiro grupo adimensional envolvendo Q\): \[\Pi_{1} = Q\,g^{a}\,H^{b}.
Para que \Pi_{1} seja adimensional, resolvemos
[L^3T^{-1}]\,[L T^{-2}]^{a}\,[L]^{b} = L^{3+a+b}\,T^{-1-2a} \overset{!}{=} L^{0}T^{0}.
Isto dá o sistema
\begin{cases} 3 + a + b = 0,\\\\ -1 - 2a = 0. \end{cases}
Da segunda equação a = -\tfrac12\]. Substituindo na primeira, \(b = -3 - a = -3 + \tfrac12 = -\tfrac52. Logo
\Pi_{1} = \frac{Q}{g^{1/2}\,H^{3/2}}.

Passo 6

Definimos o segundo grupo adimensional envolvendo V_{0}\): \[\Pi_{2} = V_{0}\,g^{c}\,H^{d}.
Para adimensionalidade,
[L T^{-1}]\,[L T^{-2}]^{c}\,[L]^{d} = L^{1+c+d}\,T^{-1-2c} \overset{!}{=} L^{0}T^{0}.
Isso leva a
\begin{cases} 1 + c + d = 0,\\\\ -1 - 2c = 0. \end{cases}
Da segunda, c = -\tfrac12\]. Então \(d = -1 - c = -\tfrac12. Assim
\Pi_{2} = \frac{V_{0}}{g^{1/2}\,H^{1/2}}.

Passo 7

O terceiro grupo é simplesmente o ângulo adimensional:
\Pi_{3} = \alpha.

Passo 8

Pelo teorema dos \Pi, existe uma relação adimensional
\Pi_{1} = \Phi(\Pi_{2},\Pi_{3})
ou seja
\frac{Q}{g^{1/2}H^{3/2}} = \Phi\!\Bigl(\frac{V_{0}}{g^{1/2}H^{1/2}},\,\alpha\Bigr).
Desse modo, isolando Q, obtemos a forma buscada.

Resposta

Q = g^{1/2}\,H^{3/2}\;\Phi\!\Bigl(\frac{V_{0}}{\sqrt{g\,H}},\,\alpha\Bigr).

Exercícios relacionados