1.8 Em um ensaio em laboratório, uma tubulação de aço galvanizado com 50 mm de diâmetro possui duas tomadas de pressão situadas a 15 m de distância uma da outra e tendo uma diferença de cotas geométricas de 1,0 \mathrm{~m}. Quando a água escoa no sentido ascendente, tendo uma velocidade média de 2.1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, um manômetro diferencial ligado às duas tomadas de pressão e contendo mercúrio acusa uma diferença manométrica de 0,15 \mathrm{~m}. Calcule o fator de atrito da tubulação e a velocidade de atrito. Dado: densidade do mercúrio d r=13,6. [ \mathbf{f}=\mathbf{0 . 0 2 8} : \mathbf{u}^{*}=\mathbf{0 , 1 2 4} \mathrm{m} / \mathrm{s} ]

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento de água em uma tubulação de diâmetro interno D=50\\ \mathrm{mm} e comprimento entre tomadas L=15\\ \mathrm{m}, que eleva a água em \Delta z=1{,}0\\ \mathrm m. A velocidade média é V=2{,}1\\ \mathrm{m/s} e o manômetro de mercúrio (densidade relativa d_r=13{,}6) indica uma deflexão h_m=0{,}15\\ \mathrm m. Precisamos usar:
  1. Equação de energia entre as tomadas para obter a perda de carga h_f em função de h_m.
  2. Equação de Darcy–Weisbach para calcular o fator de atrito f.
  3. Definição de velocidade de atrito u^*=\sqrt{\tau_w/\rho} = V\sqrt{f/8}.

Passo 2

A diferença de leitura do manômetro dá a diferença de altura piezométrica entre as tomadas:
h_f \;=\; H_1 - H_2 \;=\; \bigl(\rho_{\rm Hg}/\rho_w - 1\bigr)\,h_m
onde \rho_{\rm Hg}/\rho_w = d_r. Logo,
h_f = (d_r - 1)\,h_m = (13{,}6 - 1)\times 0{,}15 = 12{,}6\times0{,}15 = 1{,}89\\ \mathrm m.

Passo 3

Pela fórmula de Darcy–Weisbach,
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g} \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{h_f\,2g\,D}{L\,V^2}.
Substituindo h_f=1{,}89\\ \mathrm m, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, D=0{,}05\\ \mathrm m, L=15\\ \mathrm m e V=2{,}1\\ \mathrm{m/s}, obtemos
f = \frac{1{,}89 \times 2 \times 9{,}81 \times 0{,}05}{15 \times (2{,}1)^2} \approx 0{,}028.

Passo 4

A velocidade de atrito é definida como
u^* = V\,\sqrt{\frac{f}{8}}.
Substituindo V=2{,}1\\ \mathrm{m/s} e f=0{,}028,
u^* = 2{,}1 \,\sqrt{\frac{0{,}028}{8}} \approx 0{,}124\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

fator de atrito: f = 0{,}028
velocidade de atrito: u^* = 0{,}124\\ \mathrm{m/s}

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