18.33 O telhado de uma casa suburbana é equipado com painéis coletores solares com área igual a 8,0 \mathrm{~m}^{2} e eficiência de 60 \%, usados para aquecer água de 15,0^{\circ} \mathrm{C} até 55,0^{\circ} \mathrm{C} para uso das necessidades domésticas. a) Se a energia solar média incidente for igual a 150 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, qual é o volume de água que pode ser aquecido em uma hora? b) Durante um dia médio, o consumo médio para satisfazer as necessidades domésticas é cerca de 75 L de água quente a 55,0^{\circ} \mathrm{C} por pessoa. Quantas pessoas este sistema de aquecimento de água pode satisfazer?

Passo 1

O enunciado dá painéis solares com as seguintes informações (vou listar TUDO que importa, sem resolver ainda):
  • Área dos coletores: \;A=8,0\\ \mathrm{m}^2.
  • Eficiência dos coletores: \;\eta=60\%\\ =0{,}60.
  • Energia solar média incidente: \;I=150\\ \mathrm{W/m}^2.
  • Água inicial: \;15{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Água final desejada: \;55{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Capacidade térmica da água (valor padrão que usaremos): \;c=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Densidade da água (para converter massa ↔ volume): \;\rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m}^3 (logo 1\\ \mathrm{kg}=1\\ \mathrm{L} aproximadamente).
    As perguntas que o enunciado faz:
    a) Qual o volume de água que pode ser aquecido em uma hora?
    b) Sabendo que, num dia médio, o consumo é de 75\\ \mathrm{L} de água quente a 55{,}0^\circ\mathrm{C} por pessoa, quantas pessoas esse sistema consegue atender?

Passo 2

Entendendo o que significa “energia solar média incidente” e “eficiência” (aula rápida e necessária):
  • A irradiância I (em \mathrm{W/m}^2) é a potência por unidade de área que chega ao painel. Multiplicando por A obtemos a potência elétrica/solar incidente total sobre o painel: \;P_{\text{incidente}}=A\cdot I.
  • A eficiência \eta diz a fração dessa potência que é convertida em calor útil para aquecer a água. Assim a potência útil é \;P_{\text{útil}}=\eta\cdot P_{\text{incidente}}=\eta A Iú.
    Vou calcular essa potência útil numérica, passo a passo.

Passo 3

Cálculo da potência útil disponível:
P_{\text{útil}}=\eta A I = 0{,}60\times 8{,}0\\ \mathrm{m}^2\times 150\\ \mathrm{W/m}^2.ú
Faço as contas em etapas:
8{,}0\times 150 = 1200\\ \mathrm{W}
P_{\text{útil}}=0{,}60\times 1200\\ \mathrm{W}=720\\ \mathrm{W}.ú
Interpretação: o sistema fornece continuamente 720\\ \mathrm{J/s} de energia útil para aquecer água, segundo as médias dadas.

Passo 4

Energia disponível em uma hora:
  • Uma hora tem 3600\\ \mathrm{s}. A energia E fornecida em uma hora é potência vezes tempo:
E = P_{\text{útil}}\times t = 720\\ \mathrm{W}\times 3600\\ \mathrm{s}.ú
Calculo:
E = 720\times 3600 = 2\,592\,000\\ \mathrm{J}.
Então temos 2{,}592\times 10^6\\ \mathrm{J} disponíveis em uma hora para aquecer água.

Passo 5

Quanto de energia é necessário para aquecer água de 15{,}0^\circ\mathrm{C} até 55{,}0^\circ\mathrm{C}?
  • A fórmula básica é a do calor sensível:
Q = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa da água (em \mathrm{kg}), c é a capacidade térmica massiva da água ( 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e \Delta T é a variação de temperatura (em K). Note que para água \Delta T em °C é numericamente igual em K.
  • Aqui:
\Delta T = 55{,}0^\circ\mathrm{C}-15{,}0^\circ\mathrm{C}=40{,}0\\ \mathrm{K}.
Logo, para aquecer massa m precisamos de
Q = m\times 4186\times 40{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Agora igualamos a energia disponível E à energia necessária Q para encontrar a massa m que podemos aquecer em uma hora:
E = m\,c\,\Delta T \quad\Rightarrow\quad m=\frac{E}{c\,\Delta T}.
Substituo os números:
m=\frac{2\,592\,000\\ \mathrm{J}}{4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times 40{,}0\\ \mathrm{K}}.
Calculo do denominador:
4186\times 40{,}0 = 167\,440\\ (\mathrm{J/kg}).
Agora a divisão:
m=\frac{2\,592\,000}{167\,440}\\ \mathrm{kg}\approx 15{,}48\\ \mathrm{kg}.
Como 1\\ \mathrm{kg} de água ≈ 1\\ \mathrm{L}, esse valor é também o volume em litros: \approx 15{,}48\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Interpretação e arredondamento (parte a):
  • Faz sentido arredondar conforme os dados iniciais (dois algarismos significativos em muitas quantidades). Vou apresentar o resultado com três dígitos significativos:
\text{Volume aquecido em 1 hora} \approx 15{,}5\\ \mathrm{L}.

Passo 8

Resolvendo a parte (b): quantas pessoas podem ser atendidas num dia médio?
  • O enunciado diz “Durante um dia médio, o consumo médio … é cerca de 75\\ \mathrm{L} … por pessoa.” Para achar quantas pessoas o sistema pode satisfazer num dia, precisamos estimar quanto volume de água quente o sistema produz em um dia.
  • O enunciado nos deu uma “energia solar média incidente” ( 150\\ \mathrm{W/m}^2). Isso permite usar o mesmo valor médio para cada hora do dia médio — portanto multiplicamos a produção horária por 24 para obter a produção diária média (esta é a interpretação natural quando se fala em valor médio diário).
  • Volume por hora que já encontramos: 15{,}48\\ \mathrm{L/h}. Então volume por dia:
V_{\text{dia}} = 15{,}48\\ \mathrm{L/h}\times 24\\ \mathrm{h} \approx 371{,}5\\ \mathrm{L}.
  • Agora dividimos pelo consumo por pessoa:
\text{nº pessoas}=\frac{V_{\text{dia}}}{75\\ \mathrm{L/pessoa}}=\frac{371{,}5}{75}\approx 4{,}95.º
  • Como não podemos ter fração prática de pessoa, interpretamos como “cabeças inteiras”: o sistema atende cerca de 5 pessoas (ou, se for estritamente inteiro, atende plenamente 4 pessoas e parcialmente a 5.ª; mas normalmente dizemos 5 pessoas).

Resposta

a) 15{,}5\\ \mathrm{L}
b) 5 pessoas

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