18-21 Resolva para u=u(x, y) :
18. u_{y y}+16 u=0
19. u_{x x}+u_{x}-2 u=0
20. u_{x y}+u_{y}+x+y+1=0

Passo 1

Temos três equações para encontrar u=u(x,y). O enunciado pede a solução geral de cada uma. As equações e as informações dadas são:
  1. \;u_{y y}+16u=0.
  2. \;u_{x x}+u_{x}-2u=0.
  3. \;u_{x y}+u_{y}+x+y+1=0.
Aqui cada equação relaciona derivadas de u em apenas uma das variáveis (nos casos 18 e 19) ou uma derivada mista de primeira ordem (caso 20). Não há condições iniciais ou de contorno fornecidas, então procuraremos a solução geral contendo funções arbitrárias (constantes ou “constantes” que podem depender da outra variável).

Passo 2

Resolvendo o problema 18: \;u_{y y}+16u=0.
Primeiro passo técnico: observar que nessa equação só aparecem derivadas em relação a y. Podemos tratar x como um parâmetro (ou seja, constantes dependentes de x). Assim essa é uma equação diferencial ordinária em y, linear a coeficientes constantes.
A técnica padrão para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é assumir solução do tipo exponencial em y: \;u(x,y)=e^{r y} (aqui r é o parâmetro a determinar). Substituindo na equação, obtemos a equação característica.

Passo 3

Construção da equação característica para (18):
Substituindo u\sim e^{r y} na equação \;u_{y y}+16u=0 dá a equação algébrica
r^{2}+16=0.
Resolvendo:
r^{2}=-16\quad\Rightarrow\quad r=\pm 4\,i.
Como as raízes são complexas conjugadas r=\pm 4i, a forma geral da solução (para uma ODE com coeficientes reais) é combinação linear de cosseno e seno em y. Mas as “constantes” de integração podem depender do parâmetro x. Então escrevemos:
u(x,y)=A(x)\cos(4y)+B(x)\sin(4y),
onde A(x) e B(x) são funções arbitrárias de x.
Explicação didática curta: a presença de x apenas como parâmetro permite que as constantes de integração sejam funções de x — isso é padrão ao resolver ODEs obtidas ao congelar a outra variável.

Passo 4

Resolvendo o problema 19: \;u_{x x}+u_{x}-2u=0.
Aqui só há derivadas em x, então tratamos y como parâmetro. Novamente uma ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Assumimos solução do tipo \;u(x,y)=e^{r x}. Substituindo obtemos a equação característica:
r^{2}+r-2=0.

Passo 5

Resolvendo a característica de (19):
A equação quadrática \;r^{2}+r-2=0 fatoriza:
(r+2)(r-1)=0,
logo as raízes são r=1 e r=-2, distintas e reais.
Para raízes reais distintas a solução geral da ODE é combinação linear das exponenciais correspondentes, com coeficientes que podem depender do parâmetro y. Assim
u(x,y)=C_{1}(y)e^{x}+C_{2}(y)e^{-2x},
onde C_{1}(y) e C_{2}(y) são funções arbitrárias de y.
Comentário didático: se as raízes tivessem sido iguais haveríamos multiplicado por x na segunda solução; se fossem complexas usaríamos seno/cosseno com coeficientes funcionais — mesma ideia do problema 18.

Passo 6

Resolvendo o problema 20: \;u_{x y}+u_{y}+x+y+1=0.
Observação inicial: u_{x y}=\partial_x(u_{y}). Portanto é natural definir a função auxiliar
v(x,y)=u_{y}(x,y).
A equação passa a ser uma equação em v:
v_{x}+v + x+y+1=0.
Isso é uma equação diferencial ordinária em x (para cada y fixo), linear de primeira ordem para v. Resolveremos essa ODE em x tratando y como parâmetro.

Passo 7

Resolver a ODE em x para v: \;v_{x}+v = -x-y-1.
A forma padrão é \;v_{x}+p(x)v=q(x) com p(x)=1 e q(x)=-x-y-1. Usamos fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{x}. Multiplicando a equação por \mu temos
\frac{d}{dx}\big(v e^{x}\big)=(-x-y-1)e^{x}.
Integramos em x (para y fixo). Calculamos a integral no lado direito. Primeira parte:
\int -x e^{x}\,dx = -(x-1)e^{x} + \text{constante},
pois \int x e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}. Já
\int -(y+1)e^{x}\,dx=-(y+1)e^{x}.
Somando, a primitiva é
\int(-x-y-1)e^{x}\,dx =\big[-(x-1)-(y+1)\big]e^{x}+C(y) =(-x-y)e^{x}+C(y),
onde C(y) é a constante de integração que pode depender de y (porque integramos em x).

Passo 8

Substituindo a primitiva obtemos:
v(x,y)e^{x}=(-x-y)e^{x}+C(y).
Dividindo por e^{x}
v(x,y)= -x - y + C(y)e^{-x}.
Lembrete: v=u_{y}, então temos
u_{y}(x,y) = -x - y + C(y)e^{-x}.

Passo 9

Agora integramos em y para recuperar u. Integrando termo a termo com x visto como constante:
Integral de -x em y é -x y.
Integral de -y em y é -\tfrac{1}{2}y^{2}.
Integral de C(y)e^{-x} em y é e^{-x}F(y), onde F'(y)=C(y) (ou seja, F é uma primitiva de C). Ao integrar em y introduzimos também uma função arbitrária de x, digamos G(x), porque a derivada parcial em y de qualquer G(x) é zero.
Portanto a solução geral é
u(x,y)=e^{-x}F(y)-x y -\tfrac{1}{2}y^{2}+G(x),
onde F(y) e G(x) são funções arbitrárias ( F'\!=C ).

Passo 10

Resumo das formas gerais obtidas (explicação do porquê das funções arbitrárias):
  • Nos problemas 18 e 19 resolvemos ODEs que surgem ao considerar uma variável fixa; as constantes de integração tornam-se funções da outra variável porque a derivada em relação daquela outra variável não foi usada na equação — assim permanecem livres.
  • No problema 20, usar a redução por v=u_{y} transformou a PDE numa ODE em x para v; a constante de integração ao integrar em x é uma função de y, e ao integrar em y surge outra função de x. Isso é comum quando resolvemos PDEs por redução a ODEs: cada integração em uma variável acrescenta uma função arbitrária da outra variável.

Resposta

18.\;u(x,y)=A(x)\cos(4y)+B(x)\sin(4y)
19.\;u(x,y)=C_{1}(y)e^{x}+C_{2}(y)e^{-2x}
20.\;u(x,y)=e^{-x}F(y)-x y-\tfrac{1}{2}y^{2}+G(x)

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