18-21 Resolva para
:
18.
19.
20.
18.
19.
20.
Passo 1
Temos três equações para encontrar
. O enunciado pede a solução geral de cada uma. As equações e as informações dadas são:
-
. -
. -
.
Aqui cada equação relaciona derivadas de
em apenas uma das variáveis (nos casos 18 e 19) ou uma derivada mista de primeira ordem (caso 20). Não há condições iniciais ou de contorno fornecidas, então procuraremos a solução geral contendo funções arbitrárias (constantes ou “constantes” que podem depender da outra variável).
Passo 2
Resolvendo o problema 18:
.
Primeiro passo técnico: observar que nessa equação só aparecem derivadas em relação a
. Podemos tratar
como um parâmetro (ou seja, constantes dependentes de
). Assim essa é uma equação diferencial ordinária em
, linear a coeficientes constantes.
A técnica padrão para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é assumir solução do tipo exponencial em
:
(aqui
é o parâmetro a determinar). Substituindo na equação, obtemos a equação característica.
Passo 3
Construção da equação característica para (18):
Substituindo
na equação
dá a equação algébrica
Resolvendo:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma geral da solução (para uma ODE com coeficientes reais) é combinação linear de cosseno e seno em
. Mas as “constantes” de integração podem depender do parâmetro
. Então escrevemos:
onde
e
são funções arbitrárias de
.
Explicação didática curta: a presença de
apenas como parâmetro permite que as constantes de integração sejam funções de
— isso é padrão ao resolver ODEs obtidas ao congelar a outra variável.
Passo 4
Resolvendo o problema 19:
.
Aqui só há derivadas em
, então tratamos
como parâmetro. Novamente uma ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Assumimos solução do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica:
Passo 5
Resolvendo a característica de (19):
A equação quadrática
fatoriza:
logo as raízes são
e
, distintas e reais.
Para raízes reais distintas a solução geral da ODE é combinação linear das exponenciais correspondentes, com coeficientes que podem depender do parâmetro
. Assim
onde
e
são funções arbitrárias de
.
Comentário didático: se as raízes tivessem sido iguais haveríamos multiplicado por
na segunda solução; se fossem complexas usaríamos seno/cosseno com coeficientes funcionais — mesma ideia do problema 18.
Passo 6
Resolvendo o problema 20:
.
Observação inicial:
. Portanto é natural definir a função auxiliar
A equação passa a ser uma equação em
:
Isso é uma equação diferencial ordinária em
(para cada
fixo), linear de primeira ordem para
. Resolveremos essa ODE em
tratando
como parâmetro.
Passo 7
Resolver a ODE em
para
:
.
A forma padrão é
com
e
. Usamos fator integrante
. Multiplicando a equação por
temos
Integramos em
(para
fixo). Calculamos a integral no lado direito. Primeira parte:
pois
. Já
Somando, a primitiva é
onde
é a constante de integração que pode depender de
(porque integramos em
).
Passo 8
Substituindo a primitiva obtemos:
Dividindo por
dá
Lembrete:
, então temos
Passo 9
Agora integramos em
para recuperar
. Integrando termo a termo com
visto como constante:
Integral de
em
é
.
Integral de em
é
.
Integral de em
é
, onde
(ou seja,
é uma primitiva de
). Ao integrar em
introduzimos também uma função arbitrária de
, digamos
, porque a derivada parcial em
de qualquer
é zero.
Integral de
Integral de
Portanto a solução geral é
onde
e
são funções arbitrárias (
).
Passo 10
Resumo das formas gerais obtidas (explicação do porquê das funções arbitrárias):
- Nos problemas 18 e 19 resolvemos ODEs que surgem ao considerar uma variável fixa; as constantes de integração tornam-se funções da outra variável porque a derivada em relação daquela outra variável não foi usada na equação — assim permanecem livres.
- No problema 20, usar a redução por
transformou a PDE numa ODE em para ; a constante de integração ao integrar em é uma função de , e ao integrar em surge outra função de . Isso é comum quando resolvemos PDEs por redução a ODEs: cada integração em uma variável acrescenta uma função arbitrária da outra variável.