Isto ocorre quando uma EDP envolve derivadas em relação a somente uma variável (ou quando é possível passar a EDP para essa forma)
de modo que a(s) outra(s) variável(is) pode(m) ser tratada(s) como parâmetro(s). Resolva para u=u(x, y) :
u_{y y}+16 u=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial parcial
u_{yy} + 16\,u = 0
para u = u(x,y).
Informações dadas relevantes:
  • A equação envolve apenas derivadas em relação a y (não aparece u_x nem u_{xx}).
  • A solução deve ser uma função u(x,y) que satisfaça a equação para todos os x e y.
  • Não foram dadas condições iniciais ou de contorno; portanto buscamos a solução geral.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): como a equação envolve derivadas apenas em y, para cada x fixo podemos tratar x como um parâmetro e ver a EDP como uma equação diferencial ordinária (EDO) em y. Ao resolver essa EDO, as constantes de integração podem depender de x (porque foram obtidas integrando em y mantendo x fixo). Em outras palavras, vamos resolver a EDO
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(x,y) + 16\,u(x,y)=0
vista como uma EDO para a função y \mapsto u(x,y) com x parâmetro; as “constantes” de integração serão funções de x.

Passo 3

Escrevemos a EDO em y (para x fixo):
u_{yy} + 16u = 0.
É uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes (em relação a y). O método padrão é procurar soluções do tipo exponencial em y. Assumimos u(x,y)=e^{r y} (multiplicada por uma função de x constante em y se necessário) e obtemos a equação característica
r^{2}+16=0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^{2}=-16 \implies r=\pm 4i.
Como as raízes são complexas conjugadas \pm 4i, a solução geral da EDO (para cada x fixo) é uma combinação linear das funções \cos(4y) e \sin(4y), com coeficientes que podem depender de x. Assim a forma real geral da solução é
u(x,y)=A(x)\cos(4y)+B(x)\sin(4y),
onde A(x) e B(x) são funções arbitrárias (suficientemente suaves) de x.

Passo 5

Alternativa complexa (breve explicação): equivalentemente, podemos escrever a solução em termos de exponenciais complexas como
u(x,y)=C_{1}(x)e^{4i y}+C_{2}(x)e^{-4i y},
com C_{1},C_{2} funções de x. Usando a fórmula de Euler e^{\pm 4i y}=\cos(4y)\pm i\sin(4y) chegamos à forma real com A e B.

Passo 6

Verificação direta (mostrando passo a passo que a solução encontrada funciona): tome
u(x,y)=A(x)\cos(4y)+B(x)\sin(4y).
Derivando duas vezes em y (note: A(x) e B(x) são tratadas como constantes ao diferenciar em y):
u_{y}(x,y) = -4A(x)\sin(4y)+4B(x)\cos(4y),
u_{yy}(x,y) = -16A(x)\cos(4y)-16B(x)\sin(4y) = -16\,u(x,y).
Substituindo na EDP:
u_{yy}+16u = -16u + 16u = 0,
logo a forma proposta satisfaz a equação identicamente para todo x,y.

Passo 7

Observações práticas e sobre regularidade: A(x) e B(x) são funções arbitrárias de x. Se você tiver condições iniciais/extras (por exemplo valores de u e u_y em uma curva y=y_0), essas condições determinarão A(x) e B(x). Para fins de existência/classe de soluções, costuma-se exigir A,B contínuas ou suaves conforme a necessidade do problema (porém a equação não impõe derivadas em x, então a EDP aceita A,B livres salvo requisitos externos).

Passo 8

Exemplo concreto para fixar a ideia: se escolhermos A(x)=x e B(x)=1, então
u(x,y)=x\cos(4y)+\sin(4y)
é uma solução particular. Você pode verificar aplicando u_{yy}+16u e ver que dá zero, como mostrado no passo anterior.

Resposta

u(x,y)=A(x)\cos(4y)+B(x)\sin(4y)

Exercícios relacionados