Isto ocorre quando uma EDP envolve derivadas em relação a somente uma variável (ou quando é possível passar a EDP para essa forma)
de modo que a(s) outra(s) variável(is) pode(m) ser tratada(s) como parâmetro(s). Resolva para
:
de modo que a(s) outra(s) variável(is) pode(m) ser tratada(s) como parâmetro(s). Resolva para
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial parcial
para
.
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
- A equação envolve apenas derivadas em relação a
(não aparece nem ). - A solução deve ser uma função
que satisfaça a equação para todos os e . - Não foram dadas condições iniciais ou de contorno; portanto buscamos a solução geral.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): como a equação envolve derivadas apenas em
, para cada
fixo podemos tratar
como um parâmetro e ver a EDP como uma equação diferencial ordinária (EDO) em
. Ao resolver essa EDO, as constantes de integração podem depender de
(porque foram obtidas integrando em
mantendo
fixo). Em outras palavras, vamos resolver a EDO
vista como uma EDO para a função
com
parâmetro; as “constantes” de integração serão funções de
.
Passo 3
Escrevemos a EDO em
(para
fixo):
É uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes (em relação a
). O método padrão é procurar soluções do tipo exponencial em
. Assumimos
(multiplicada por uma função de
constante em
se necessário) e obtemos a equação característica
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da EDO (para cada
fixo) é uma combinação linear das funções
e
, com coeficientes que podem depender de
. Assim a forma real geral da solução é
onde
e
são funções arbitrárias (suficientemente suaves) de
.
Passo 5
Alternativa complexa (breve explicação): equivalentemente, podemos escrever a solução em termos de exponenciais complexas como
com
funções de
. Usando a fórmula de Euler
chegamos à forma real com
e
.
Passo 6
Verificação direta (mostrando passo a passo que a solução encontrada funciona): tome
Derivando duas vezes em
(note:
e
são tratadas como constantes ao diferenciar em
):
Substituindo na EDP:
logo a forma proposta satisfaz a equação identicamente para todo
.
Passo 7
Observações práticas e sobre regularidade:
e
são funções arbitrárias de
. Se você tiver condições iniciais/extras (por exemplo valores de
e
em uma curva
), essas condições determinarão
e
. Para fins de existência/classe de soluções, costuma-se exigir
contínuas ou suaves conforme a necessidade do problema (porém a equação não impõe derivadas em
, então a EDP aceita
livres salvo requisitos externos).
Passo 8
Exemplo concreto para fixar a ideia: se escolhermos
e
, então
é uma solução particular. Você pode verificar aplicando
e ver que dá zero, como mostrado no passo anterior.