- (Teorema Fundamental) Prove o Teorema Fundamental 1 para EDPs de segunda ordem com duas e três variáveis independentes.
Passo 1
O enunciado pede: provar o “Teorema Fundamental 1” para EDPs de segunda ordem com duas e com três variáveis independentes. Vou trabalhar com a forma geral das EDPs lineares de segunda ordem e mostrar que, localmente, pelo uso de mudança de variáveis adequada, o termo de segunda ordem (a parte principal) pode ser levado a uma forma canônica (sem termos mistos) — e a classificação (hiperbólica / parabólica / elíptica ou, em 3 var., pela assinatura) aparece naturalmente.
Informações dadas e o que precisamos provar:
Informações dadas e o que precisamos provar:
- Para duas variáveis independentes
consideramos a EDP linear de segunda ordem
com
funções suaves e
, etc. Devemos provar que existe (localmente) uma mudança de variáveis
que leva a equação para uma forma canônica (sem termo
, ou somente
, conforme o tipo), e explicitar os critérios que determinam o tipo (discriminante).
- Para três variáveis independentes
consideramos a EDP linear de segunda ordem
onde a matriz
é simétrica (
). Devemos provar que existe (localmente) uma mudança de variáveis lineares (ou apropriada) que transforma a parte de segunda ordem em uma soma diagonalizada
(com coeficientes
constantes no ponto), e relacionar a forma canônica com os autovalores (assinatura).
Observação: Sempre que eu usar uma fórmula que relaciona derivadas em duas coordenadas vou escrever explicitamente o que significa cada símbolo e usar a regra da cadeia.
Observação: Sempre que eu usar uma fórmula que relaciona derivadas em duas coordenadas vou escrever explicitamente o que significa cada símbolo e usar a regra da cadeia.
Passo 2
Ideia geral e definição da parte principal (símbolo principal).
- A “parte principal” de uma EDP de segunda ordem é a soma dos termos com derivadas de segunda ordem. Para duas variáveis é a expressão quadrática em derivadas
. É útil associar a ela o polinômio/quadrático em variáveis
Esse quadrático codifica o comportamento dos termos de segunda ordem. Mudar de variáveis corresponde a aplicar uma transformação sobre as derivadas; algebraicamente isso equivale a escrever
na nova base de derivadas. O objetivo: escolher novas coordenadas que diagonalizem (ou anulem certos coeficientes de)
.
- Para três variáveis a parte principal corresponde a uma forma quadrática associada à matriz simétrica
ou seja, a matriz
representa a forma quadrática. Diagonalizar
(reduzir a forma quadrática a soma de quadrados com coeficientes) é feito pela teoria das matrizes simétricas (teorema espectral).
Vou agora detalhar e provar construtivamente esses fatos, começando por duas variáveis (onde aparece o discriminante) e depois três variáveis (onde usamos diagonalização por ortogonalidade).
Passo 3
Regra da cadeia para derivadas de segunda ordem (ferramenta técnica necessária). Seja uma mudança de variáveis suave
Para escrever
em termos de
usamos a regra da cadeia. Primeiro:
Derivando novamente (vou mostrar apenas os termos que envolvem segundas derivadas de
; os termos que envolvem primeiras derivadas de
geram “termos de ordem menor” que não nos interessam para diagonalizar a parte principal):
Agora combinamos com
para obter a parte principal na nova coordenada:
Portanto, as novas coeficientes de
são exatamente as formas quadráticas
avaliadas nos vetores gradiente
e
, e uma combinação mista. Isso mostra claramente que escolher
equivalentes a escolher vetores no plano em relação à forma quadrática
.
Passo 4
Construção das coordenadas características em duas variáveis (caso hiperbólico e parabólico) — derivação do critério
.
- Vamos procurar
tal que o coeficiente de seja zero:
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Interpretação geométrica: escrevendo a condição para as curvas
(curvas de nível), se numa curva de nível temos
, então o vetor tangente é
e a condição acima para que o gradiente de
esteja na “direção nula” equivale a pedir que
seja raiz de
As raízes são
- Se
(hiperbólico), existem duas raízes reais distintas. Assim obtemos duas famílias de curvas integrais reais (duas direções características). Tomando constante numa família e constante na outra, cada uma satisfaz
Substituindo essas condições na expressão do passo anterior, os coeficientes de
e
tornam-se zero, e o termo misto permanece; mas uma reescalagem das coordenadas permite, com um pequeno ajuste (multiplicação de
ou
por função não nula), obter a forma canônica
Esse é o formato canônico hiperbólico (pense na equação de onda
que em coordenadas características se torna
). Em resumo: para
encontramos duas famílias de curvas reais e a EDP reduz localmente a uma equação com termo principal proporcional a
.
- Se
(parabólico), as raízes coincidem e há apenas uma família real de características. Podemos escolher constante nessa família (fazendo o coeficiente de zero). Como só existe uma família, o termo restante de segunda ordem em geral será proporcional a (após escolha conveniente de ), portanto a forma canônica é, localmente,
É a forma canônica parabólica (ex.: equação do calor
tem forma com uma única direção de deriva).
- Se
(elíptico), não existem direções reais que anulem o quadrático; isto é, não há curvas reais const com o coeficiente de nulo. Mas ainda é possível eliminar o termo misto por uma mudança de variáveis linear (rotação); isso equivale a diagonalizar o quadrático por uma transformação linear. Uma forma prática: procurar um ângulo tal que a rotação
elimine o termo misto. A condição leva à equação tangente duplo
Ao escolher
satisfazendo isso obtém-se coordenadas em que o quadrático é diagonal e a equação assume a forma
com
e
de mesmo sinal (já que
). Assim a equação é elíptica e localmente tem forma análoga à equação de Laplace (caso especial
).
Observação didática: o que fizemos para cada caso é tornar a forma quadrática (símbolo principal) numa forma mais simples — seja , seja
, seja soma de segundos derivados diagonalizados. Esses são os “formas canônicas” locais.
Observação didática: o que fizemos para cada caso é tornar a forma quadrática (símbolo principal) numa forma mais simples — seja
Passo 5
Exemplo curto e interpretação prática (concreto e útil para prova).
- Hiperbólica: Exemplo clássico é a equação da onda
. Aqui (se trocarmos nomes de variáveis). Temos . As características são as retas const; escolhendo obtemos . Esse é o tipo de transformação que a prova genérica constrói: achar funções constantes ao longo das características. - Parabólica: Equação do calor
(no sentido de variável temporal e espacial) tem apenas uma direção de segunda ordem (no espaço) e forma canônica com só um termo de segunda ordem espacial. - Elíptica: Equação de Laplace
já tem forma diagonal. Se houvesse termo misto, uma rotação adequada o eliminaria.
Passo 6
Generalização para três variáveis: matriz simétrica, teorema espectral e forma canônica local.
- Escrevemos a parte principal como forma quadrática com matriz simétrica:
associando a matriz simétrica
. A chave é o teorema espectral: para toda matriz real simétrica
existe uma matriz ortogonal
(ou seja,
) tal que
é diagonal. As entradas diagonais de
são os autovalores reais
de
. Isso significa que existe mudança linear de variáveis (rotação/escala) da forma
tal que, expressando as segundas derivadas em
, a parte principal fica
- Interpretação e classificação: a assinatura (número de autovalores positivos, negativos e zero) determina o tipo canônico local:
- Se todos os
têm o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos), a equação é elíptica localmente (analogia com Laplace). - Se há sinais mistos (por exemplo, dois positivos e um negativo) obtemos um tipo hiperbólico (há mais de um tipo de hiperbólico em 3D; o importante é a existência de sinais opostos).
- Se algum
, temos degenerescência e surge a categoria “parabólica” ou degenerada (uma direção de segunda ordem ausente).
- Se todos os
- Observação técnica sobre coeficientes variáveis: se os coeficientes
não são constantes, o teorema espectral aplica-se ponto a ponto; ou seja, em cada ponto fixo podemos diagonalizar por uma rotação linear e obter a forma canônica “no ponto” — para obter uma mudança de variáveis suave simultânea numa vizinhança é necessário cuidar da regularidade dos autovalores/autovetores (por exemplo, se os autovalores são distintos então autovetores variam suavemente e se constrói uma mudança suave). Na prática de provas e aplicações o que importa é que localmente e com hipóteses suaves há uma transformação que traz a parte principal a uma forma diagonal (tal transformação pode ser tomada como linear ao primeiro ordenar em torno do ponto), e termos de ordem menor permanecem controlados.
Passo 7
Resumo do mecanismo de prova — recapitulação passo a passo para a prova em prova de exame (guia prático).
- Identificar a parte principal da EDP (coeficientes de derivadas de segunda ordem).
- Associar a ela a forma quadrática
(no caso 2D) ou a matriz simétrica (no caso 3D). - No caso 2D: resolver a equação característica
. Se escolher constantes ao longo das duas famílias de características reais; se escolher numa família única; se aplicar rotação linear para diagonalizar o quadrático. Usar a regra da cadeia para verificar que os termos mistos são eliminados e que a equação adquire a forma canônica (mostrando os coeficientes que ficam na frente de ). - No caso 3D: usar o teorema espectral (diagonalização por matriz ortogonal) para reduzir a matriz dos coeficientes de segunda ordem a uma diagonal de autovalores
. Fazer a mudança linear de variáveis e usar a regra da cadeia para ver que a parte principal se transforma em . Classificar pelo sinal dos . - Lembrar das questões de regularidade: para coeficientes variáveis existe a diagonalização ponto a ponto; para uma mudança suave numa vizinhança é necessário exigir condições (por exemplo autovalores simples) — mas localmente, e para propósitos da teoria canônica, essa diagonalização é a ferramenta usada.
Resposta
Para duas variáveis: localmente existe mudança de variáveis
que transforma a parte principal
numa das formas canônicas
obtidas escolhendo
constantes ao longo das características quando existirem ou por rotação quando não existirem.
Para três variáveis: associando a matriz simétrica
à parte principal, existe uma transformação linear ortogonal local que diagonaliza
, levando a parte principal a
onde
são os autovalores de
. A classificação local da EDP é dada pela assinatura (sinais) desses
(todos do mesmo sinal: elíptica; sinais mistos: hiperbólica; algum zero: degenerada/parabólica).