1. (Teorema Fundamental) Prove o Teorema Fundamental 1 para EDPs de segunda ordem com duas e três variáveis independentes.

Passo 1

O enunciado pede: provar o “Teorema Fundamental 1” para EDPs de segunda ordem com duas e com três variáveis independentes. Vou trabalhar com a forma geral das EDPs lineares de segunda ordem e mostrar que, localmente, pelo uso de mudança de variáveis adequada, o termo de segunda ordem (a parte principal) pode ser levado a uma forma canônica (sem termos mistos) — e a classificação (hiperbólica / parabólica / elíptica ou, em 3 var., pela assinatura) aparece naturalmente.
Informações dadas e o que precisamos provar:
  • Para duas variáveis independentes x,y consideramos a EDP linear de segunda ordem
A(x,y)\,u_{xx}+B(x,y)\,u_{xy}+C(x,y)\,u_{yy}+\text{(termos de ordem menor)}=0,
com A,B,C funções suaves e u_{xx}=\partial^2 u/\partial x^2, etc. Devemos provar que existe (localmente) uma mudança de variáveis \xi=\xi(x,y),\;\eta=\eta(x,y) que leva a equação para uma forma canônica (sem termo u_{\xi\eta}, ou somente u_{\xi\eta}, conforme o tipo), e explicitar os critérios que determinam o tipo (discriminante).
  • Para três variáveis independentes x_1,x_2,x_3 consideramos a EDP linear de segunda ordem
\sum_{i,j=1}^3 a_{ij}(x)\,u_{x_i x_j}+\text{(termos de ordem menor)}=0,
onde a matriz \big(a_{ij}\big) é simétrica ( a_{ij}=a_{ji}). Devemos provar que existe (localmente) uma mudança de variáveis lineares (ou apropriada) que transforma a parte de segunda ordem em uma soma diagonalizada \lambda_1 v_{y_1y_1}+\lambda_2 v_{y_2y_2}+\lambda_3 v_{y_3y_3} (com coeficientes \lambda_i constantes no ponto), e relacionar a forma canônica com os autovalores (assinatura).
Observação: Sempre que eu usar uma fórmula que relaciona derivadas em duas coordenadas vou escrever explicitamente o que significa cada símbolo e usar a regra da cadeia.

Passo 2

Ideia geral e definição da parte principal (símbolo principal).
  • A “parte principal” de uma EDP de segunda ordem é a soma dos termos com derivadas de segunda ordem. Para duas variáveis é a expressão quadrática em derivadas \;A u_{xx}+B u_{xy}+C u_{yy}. É útil associar a ela o polinômio/quadrático em variáveis \xi,\eta
P(\xi,\eta)=A\,\xi^2+B\,\xi\eta+C\,\eta^2.
Esse quadrático codifica o comportamento dos termos de segunda ordem. Mudar de variáveis corresponde a aplicar uma transformação sobre as derivadas; algebraicamente isso equivale a escrever P na nova base de derivadas. O objetivo: escolher novas coordenadas que diagonalizem (ou anulem certos coeficientes de) P.
  • Para três variáveis a parte principal corresponde a uma forma quadrática associada à matriz simétrica
Q(\mathbf{\xi})=\sum_{i,j=1}^3 a_{ij}\,\xi_i\xi_j,
ou seja, a matriz A=(a_{ij}) representa a forma quadrática. Diagonalizar A (reduzir a forma quadrática a soma de quadrados com coeficientes) é feito pela teoria das matrizes simétricas (teorema espectral).
Vou agora detalhar e provar construtivamente esses fatos, começando por duas variáveis (onde aparece o discriminante) e depois três variáveis (onde usamos diagonalização por ortogonalidade).

Passo 3

Regra da cadeia para derivadas de segunda ordem (ferramenta técnica necessária). Seja uma mudança de variáveis suave
\xi=\xi(x,y),\qquad \eta=\eta(x,y).
Para escrever u_{xx},u_{xy},u_{yy} em termos de u_{\xi\xi},u_{\xi\eta},u_{\eta\eta} usamos a regra da cadeia. Primeiro:
u_x = u_\xi\,\xi_x + u_\eta\,\eta_x,\qquad u_y = u_\xi\,\xi_y + u_\eta\,\eta_y.
Derivando novamente (vou mostrar apenas os termos que envolvem segundas derivadas de u; os termos que envolvem primeiras derivadas de u geram “termos de ordem menor” que não nos interessam para diagonalizar a parte principal):
u_{xx} = u_{\xi\xi}\,\xi_x^2 + 2u_{\xi\eta}\,\xi_x\eta_x + u_{\eta\eta}\,\eta_x^2 + \text{(ordem menor)},
u_{xy} = u_{\xi\xi}\,\xi_x\xi_y + u_{\xi\eta}(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x) + u_{\eta\eta}\,\eta_x\eta_y + \text{(ordem menor)},
u_{yy} = u_{\xi\xi}\,\xi_y^2 + 2u_{\xi\eta}\,\xi_y\eta_y + u_{\eta\eta}\,\eta_y^2 + \text{(ordem menor)}.
Agora combinamos com A,B,C para obter a parte principal na nova coordenada:
A u_{xx}+B u_{xy}+C u_{yy} =
\big(A\xi_x^2+B\xi_x\xi_y+C\xi_y^2\big)u_{\xi\xi} +2\big(A\xi_x\eta_x+\tfrac{B}{2}(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x)+C\xi_y\eta_y\big)u_{\xi\eta} +\big(A\eta_x^2+B\eta_x\eta_y+C\eta_y^2\big)u_{\eta\eta} +\text{(ordem menor)}.
Portanto, as novas coeficientes de u_{\xi\xi},u_{\xi\eta},u_{\eta\eta} são exatamente as formas quadráticas P avaliadas nos vetores gradiente (\xi_x,\xi_y) e (\eta_x,\eta_y), e uma combinação mista. Isso mostra claramente que escolher \xi,\eta equivalentes a escolher vetores no plano em relação à forma quadrática P.

Passo 4

Construção das coordenadas características em duas variáveis (caso hiperbólico e parabólico) — derivação do critério \Delta=B^2-4AC.
  • Vamos procurar \xi(x,y) tal que o coeficiente de u_{\xi\xi} seja zero:
A\xi_x^2+B\xi_x\xi_y+C\xi_y^2=0.
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem para \xi. Interpretação geométrica: escrevendo a condição para as curvas \xi=\text{constante} (curvas de nível), se numa curva de nível temos dy/dx=\rho(x,y), então o vetor tangente é (1,\rho) e a condição acima para que o gradiente de \xi esteja na “direção nula” equivale a pedir que \rho seja raiz de
A\,\rho^2 - B\,\rho + C = 0.
As raízes são
\rho_{1,2}=\frac{B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.
  • Se B^2-4AC>0 (hiperbólico), existem duas raízes reais distintas. Assim obtemos duas famílias de curvas integrais reais (duas direções características). Tomando \xi constante numa família e \eta constante na outra, cada uma satisfaz
A\xi_x^2+B\xi_x\xi_y+C\xi_y^2=0,\qquad A\eta_x^2+B\eta_x\eta_y+C\eta_y^2=0.
Substituindo essas condições na expressão do passo anterior, os coeficientes de u_{\xi\xi} e u_{\eta\eta} tornam-se zero, e o termo misto permanece; mas uma reescalagem das coordenadas permite, com um pequeno ajuste (multiplicação de \xi ou \eta por função não nula), obter a forma canônica
u_{\xi\eta}+\text{(termos de ordem menor)}=0.
Esse é o formato canônico hiperbólico (pense na equação de onda u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 que em coordenadas características se torna u_{\xi\eta}=0). Em resumo: para \Delta>0 encontramos duas famílias de curvas reais e a EDP reduz localmente a uma equação com termo principal proporcional a u_{\xi\eta}.
  • Se B^2-4AC=0 (parabólico), as raízes coincidem e há apenas uma família real de características. Podemos escolher \xi constante nessa família (fazendo o coeficiente de u_{\xi\xi} zero). Como só existe uma família, o termo restante de segunda ordem em geral será proporcional a u_{\xi\xi} (após escolha conveniente de \eta), portanto a forma canônica é, localmente,
u_{\xi\xi}+\text{(termos de ordem menor)}=0.
É a forma canônica parabólica (ex.: equação do calor u_t-u_{xx}=0 tem forma com uma única direção de deriva).
  • Se B^2-4AC<0 (elíptico), não existem direções reais que anulem o quadrático; isto é, não há curvas reais \xi= const com o coeficiente de u_{\xi\xi} nulo. Mas ainda é possível eliminar o termo misto por uma mudança de variáveis linear (rotação); isso equivale a diagonalizar o quadrático P(\xi,\eta) por uma transformação linear. Uma forma prática: procurar um ângulo \theta tal que a rotação
\tilde x = x\cos\theta - y\sin\theta,\qquad \tilde y = x\sin\theta + y\cos\theta
elimine o termo misto. A condição leva à equação tangente duplo
\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}.
Ao escolher \theta satisfazendo isso obtém-se coordenadas em que o quadrático é diagonal e a equação assume a forma
\alpha\,u_{\tilde x\tilde x}+\gamma\,u_{\tilde y\tilde y}+\text{(termos de ordem menor)}=0,
com \alpha e \gamma de mesmo sinal (já que \Delta<0). Assim a equação é elíptica e localmente tem forma análoga à equação de Laplace (caso especial \alpha=\gamma).
Observação didática: o que fizemos para cada caso é tornar a forma quadrática (símbolo principal) numa forma mais simples — seja u_{\xi\eta}, seja u_{\xi\xi}, seja soma de segundos derivados diagonalizados. Esses são os “formas canônicas” locais.

Passo 5

Exemplo curto e interpretação prática (concreto e útil para prova).
  • Hiperbólica: Exemplo clássico é a equação da onda \;u_{tt}-c^2 u_{xx}=0. Aqui A=-c^2,\;B=0,\;C=1 (se trocarmos nomes de variáveis). Temos \Delta = 0^2-4(-c^2)(1)=4c^2>0. As características são as retas x\pm c t= const; escolhendo \xi=x-ct,\;\eta=x+ct obtemos u_{\xi\eta}=0. Esse é o tipo de transformação que a prova genérica constrói: achar funções constantes ao longo das características.
  • Parabólica: Equação do calor u_t - k u_{xx}=0 (no sentido de variável temporal e espacial) tem apenas uma direção de segunda ordem (no espaço) e forma canônica com só um termo de segunda ordem espacial.
  • Elíptica: Equação de Laplace u_{xx}+u_{yy}=0 já tem forma diagonal. Se houvesse termo misto, uma rotação adequada o eliminaria.

Passo 6

Generalização para três variáveis: matriz simétrica, teorema espectral e forma canônica local.
  • Escrevemos a parte principal como forma quadrática com matriz simétrica:
\sum_{i,j=1}^3 a_{ij}\,u_{x_i x_j},
associando a matriz simétrica A=(a_{ij}). A chave é o teorema espectral: para toda matriz real simétrica A existe uma matriz ortogonal P (ou seja, P^T P=I) tal que
P^T A P = D
é diagonal. As entradas diagonais de D são os autovalores reais \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 de A. Isso significa que existe mudança linear de variáveis (rotação/escala) da forma
\mathbf{y}=P^T\mathbf{x}
tal que, expressando as segundas derivadas em \mathbf{y}, a parte principal fica
\lambda_1\,u_{y_1y_1}+\lambda_2\,u_{y_2y_2}+\lambda_3\,u_{y_3y_3}+\text{(termos de ordem menor)}.
  • Interpretação e classificação: a assinatura (número de autovalores positivos, negativos e zero) determina o tipo canônico local:
    • Se todos os \lambda_i têm o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos), a equação é elíptica localmente (analogia com Laplace).
    • Se há sinais mistos (por exemplo, dois positivos e um negativo) obtemos um tipo hiperbólico (há mais de um tipo de hiperbólico em 3D; o importante é a existência de sinais opostos).
    • Se algum \lambda_i=0, temos degenerescência e surge a categoria “parabólica” ou degenerada (uma direção de segunda ordem ausente).
  • Observação técnica sobre coeficientes variáveis: se os coeficientes a_{ij}(x) não são constantes, o teorema espectral aplica-se ponto a ponto; ou seja, em cada ponto fixo x_0 podemos diagonalizar A(x_0) por uma rotação linear e obter a forma canônica “no ponto” — para obter uma mudança de variáveis suave simultânea numa vizinhança é necessário cuidar da regularidade dos autovalores/autovetores (por exemplo, se os autovalores são distintos então autovetores variam suavemente e se constrói uma mudança suave). Na prática de provas e aplicações o que importa é que localmente e com hipóteses suaves há uma transformação que traz a parte principal a uma forma diagonal (tal transformação pode ser tomada como linear ao primeiro ordenar em torno do ponto), e termos de ordem menor permanecem controlados.

Passo 7

Resumo do mecanismo de prova — recapitulação passo a passo para a prova em prova de exame (guia prático).
  1. Identificar a parte principal da EDP (coeficientes de derivadas de segunda ordem).
  2. Associar a ela a forma quadrática P (no caso 2D) ou a matriz simétrica A (no caso 3D).
  3. No caso 2D: resolver a equação característica A\rho^2-B\rho+C=0. Se \Delta>0 escolher \xi,\eta constantes ao longo das duas famílias de características reais; se \Delta=0 escolher \xi numa família única; se \Delta<0 aplicar rotação linear para diagonalizar o quadrático. Usar a regra da cadeia para verificar que os termos mistos são eliminados e que a equação adquire a forma canônica (mostrando os coeficientes que ficam na frente de u_{\xi\xi},u_{\xi\eta},u_{\eta\eta}).
  4. No caso 3D: usar o teorema espectral (diagonalização por matriz ortogonal) para reduzir a matriz dos coeficientes de segunda ordem a uma diagonal de autovalores \lambda_i. Fazer a mudança linear de variáveis e usar a regra da cadeia para ver que a parte principal se transforma em \sum \lambda_i u_{y_i y_i}. Classificar pelo sinal dos \lambda_i.
  5. Lembrar das questões de regularidade: para coeficientes variáveis existe a diagonalização ponto a ponto; para uma mudança suave numa vizinhança é necessário exigir condições (por exemplo autovalores simples) — mas localmente, e para propósitos da teoria canônica, essa diagonalização é a ferramenta usada.

Resposta

Para duas variáveis: localmente existe mudança de variáveis \xi=\xi(x,y),\;\eta=\eta(x,y) que transforma a parte principal A u_{xx}+B u_{xy}+C u_{yy} numa das formas canônicas
u_{\xi\eta}+\text{(termos de ordem menor)}\quad(\text{hiperbólica, se }B^2-4AC>0),ó
u_{\xi\xi}+\text{(termos de ordem menor)}\quad(\text{parabólica, se }B^2-4AC=0),ó
\alpha\,u_{\tilde x\tilde x}+\gamma\,u_{\tilde y\tilde y}+\text{(termos de ordem menor)}\quad(\text{elíptica, se }B^2-4AC<0),í
obtidas escolhendo \xi,\eta constantes ao longo das características quando existirem ou por rotação quando não existirem.
Para três variáveis: associando a matriz simétrica A=(a_{ij}) à parte principal, existe uma transformação linear ortogonal local que diagonaliza A, levando a parte principal a
\lambda_1\,u_{y_1y_1}+\lambda_2\,u_{y_2y_2}+\lambda_3\,u_{y_3y_3}+\text{(termos de ordem menor)},
onde \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 são os autovalores de A. A classificação local da EDP é dada pela assinatura (sinais) desses \lambda_i (todos do mesmo sinal: elíptica; sinais mistos: hiperbólica; algum zero: degenerada/parabólica).

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