-18 A Eq. 29-4 fornece o módulo B do campo magnético criado por um fio retilíneo infinitamente longo percorrido por uma corrente em um ponto P situado a uma distância R do fio. Suponha que o ponto P esteja na verdade a uma distância R do ponto médio de um fio de comprimento finito L percorrido por uma corrente. Nesse caso, o uso da Eq. 29-4 para calcular B envolve um certo erro percentual. Qual deve ser a razão L / R para que o erro percentual seja 1,00 % ? Em outras palavras, para que valor de L / R a igualdade é satisfeita?
(B da Eq 29-4)-(B real )(B real )(100 %)=1,00 %

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o campo magnético criado por um fio retilíneo. Especificamente, queremos descobrir a razão entre o comprimento do fio ( L) e a distância do ponto onde medimos o campo ( R) que resulta em um erro de 1% ao usar a fórmula para um fio infinito. Para isso, vamos precisar das fórmulas do campo magnético para fios infinitos e finitos, e entender um pouquinho de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do campo magnético ( B) criado por um fio retilíneo infinitamente longo. Essa fórmula é dada por:
Binfinito = mu0 I2pi R
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo, I é a corrente elétrica no fio, e R é a distância do ponto P ao fio.

Passo 3

Agora, vamos considerar que o fio não é infinito, mas tem um comprimento finito L. O campo magnético real ( Breal) nesse caso é um pouco diferente. A fórmula para um fio finito é:
Breal = mu0 I4pi R ( sin theta1 + sin theta2 )
Como o ponto P está a uma distância R do ponto médio do fio, os ângulos theta1 e theta2 são iguais. Vamos chamar esse ângulo de theta. Então, a equação fica:
Breal = mu0 I2pi R sin theta

Passo 4

A gente quer que o erro percentual entre usar a fórmula do fio infinito e o valor real seja de 1%. Isso está descrito pela equação:
Binfinito - BrealBreal times 100% = 1%
Vamos substituir as fórmulas que temos:
mu0 I2pi R - mu0 I2pi R sin thetamu0 I2pi R sin theta times 100% = 1%
Simplificando, as mu0 I2pi R se cancelam:
1 - sin thetasin theta times 100% = 1%

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar sin theta:
1 - sin thetasin theta = 0,01
Multiplicando ambos os lados por sin theta:
1 - sin theta = 0,01 sin theta
Somando sin theta nos dois lados:
1 = 1,01 sin theta
Então:
sin theta = 11,01 approx 0,9901
Agora, vamos encontrar o ângulo theta:
theta = arcsin(0,9901) approx 81^circ

Passo 6

Sabemos que tan theta = L/2R, já que o ângulo theta é formado pelo comprimento do fio dividido por duas vezes a distância R. Então:
tan 81^circ = L/2R
Calculando o valor de tan 81^circ:
tan 81^circ approx 6,3138
Portanto:
L2R = 6,3138
Multiplicando ambos os lados por 2:
LR = 12,6276

Resposta

A razão L/R deve ser aproximadamente 12,63 para que o erro percentual seja de 1,00%.

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