-18 A Eq. 29-4 fornece o módulo
do campo magnético criado por um fio retilíneo infinitamente longo percorrido por uma corrente em um ponto
situado a uma distância
do fio. Suponha que o ponto
esteja na verdade a uma distância
do ponto médio de um fio de comprimento finito
percorrido por uma corrente. Nesse caso, o uso da Eq. 29-4 para calcular
envolve um certo erro percentual. Qual deve ser a razão
para que o erro percentual seja
? Em outras palavras, para que valor de
a igualdade é satisfeita?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o campo magnético criado por um fio retilíneo. Especificamente, queremos descobrir a razão entre o comprimento do fio (
) e a distância do ponto onde medimos o campo (
) que resulta em um erro de 1% ao usar a fórmula para um fio infinito. Para isso, vamos precisar das fórmulas do campo magnético para fios infinitos e finitos, e entender um pouquinho de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do campo magnético (
) criado por um fio retilíneo infinitamente longo. Essa fórmula é dada por:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente elétrica no fio, e
é a distância do ponto
ao fio.
Passo 3
Agora, vamos considerar que o fio não é infinito, mas tem um comprimento finito
. O campo magnético real (
) nesse caso é um pouco diferente. A fórmula para um fio finito é:
Como o ponto
está a uma distância
do ponto médio do fio, os ângulos
e
são iguais. Vamos chamar esse ângulo de
. Então, a equação fica:
Passo 4
A gente quer que o erro percentual entre usar a fórmula do fio infinito e o valor real seja de 1%. Isso está descrito pela equação:
Vamos substituir as fórmulas que temos:
Simplificando, as
se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Somando
nos dois lados:
Então:
Agora, vamos encontrar o ângulo
:
Passo 6
Sabemos que
, já que o ângulo
é formado pelo comprimento do fio dividido por duas vezes a distância
. Então:
Calculando o valor de
:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resposta
A razão
deve ser aproximadamente
para que o erro percentual seja de
.