Uma onda eletromagnética com uma frequência de
está se propagando no vácuo no sentido positivo do eixo x. O campo elétrico da onda é paralelo ao eixo y e tem uma amplitude
. No instante
o campo elétrico no ponto P , situado sobre o eixo x , tem valor de
está diminuindo com o tempo. Qual é a distância, ao longo do eixo x, entre o ponto P e o primeiro ponto com
no sentido positivo do eixo x?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo ao longo do eixo positivo x. A frequência dessa onda é
, e o campo elétrico dessa onda está paralelo ao eixo y, com uma amplitude máxima
. No instante
, em um ponto P sobre o eixo x, o campo elétrico tem um valor de
e está diminuindo com o tempo. Nosso objetivo é encontrar a distância ao longo do eixo x entre o ponto P e o primeiro ponto, na direção positiva de x, onde o campo elétrico
é igual a zero.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos como ondas eletromagnéticas, frequência, amplitude, e como calcular a posição de pontos específicos em uma onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expressão geral para o campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga ao longo do eixo x:
Onde:
-
é a amplitude máxima do campo elétrico. -
é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda por . -
é a frequência angular, dada por , onde é a frequência da onda. -
é a fase inicial da onda. -
é a posição ao longo do eixo de propagação. -
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que a frequência
da onda é
. Vamos calcular a frequência angular
:
Passo 4
Para encontrar o número de onda
, precisamos do comprimento de onda
. Sabemos que no vácuo, a velocidade da luz
é relacionada à frequência e ao comprimento de onda por:
Rearranjando para
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
No instante
, o campo elétrico no ponto P tem valor de
e está diminuindo com o tempo. Isso nos dá informações sobre a fase da onda nesse ponto. Vamos expressar isso matematicamente:
Além disso, sabemos que o campo está diminuindo, o que significa que a derivada temporal
é negativa:
Isso implica que
, já que
e
.
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Isso nos dá:
Vamos chamar essa fase de
:
Passo 7
Queremos encontrar a posição
onde o campo elétrico
é igual a zero. Isso ocorre quando o argumento do seno é igual a
,
,
, etc. A primeira posição após P onde
será quando a fase aumentar em
.
Portanto, a distância
que procuramos satisfaz:
Passo 8
Isolamos
:
Substituindo o valor de
que calculamos anteriormente:
Passo 9
Vamos calcular
. Sabemos que
, então:
Portanto:
Agora, substituindo na equação de
:
Resposta
A distância entre o ponto P e o primeiro ponto com
no sentido positivo do eixo x é aproximadamente
metros.