Uma onda eletromagnética com uma frequência de 4,00 times 10^14 Hz está se propagando no vácuo no sentido positivo do eixo x. O campo elétrico da onda é paralelo ao eixo y e tem uma amplitude Em. No instante t=0 o campo elétrico no ponto P , situado sobre o eixo x , tem valor de +Em / 4 e está diminuindo com o tempo. Qual é a distância, ao longo do eixo x, entre o ponto P e o primeiro ponto com E=0 no sentido positivo do eixo x?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo ao longo do eixo positivo x. A frequência dessa onda é 4,00 times 10^14 Hz, e o campo elétrico dessa onda está paralelo ao eixo y, com uma amplitude máxima Em. No instante t=0, em um ponto P sobre o eixo x, o campo elétrico tem um valor de +Em4e e está diminuindo com o tempo. Nosso objetivo é encontrar a distância ao longo do eixo x entre o ponto P e o primeiro ponto, na direção positiva de x, onde o campo elétrico E é igual a zero.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos como ondas eletromagnéticas, frequência, amplitude, e como calcular a posição de pontos específicos em uma onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expressão geral para o campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga ao longo do eixo x:
E(x, t) = Em sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • Em é a amplitude máxima do campo elétrico.
  • k é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda lambda por k = 2pilambda.
  • omega é a frequência angular, dada por omega = 2pi f, onde f é a frequência da onda.
  • phi é a fase inicial da onda.
  • x é a posição ao longo do eixo de propagação.
  • t é o tempo.

Passo 3

Sabemos que a frequência f da onda é 4,00 times 10^14 Hz. Vamos calcular a frequência angular omega:
omega = 2pi f = 2pi times 4,00 times 10^14 Hz approx 2,51 times 10^15 rad/s

Passo 4

Para encontrar o número de onda k, precisamos do comprimento de onda lambda. Sabemos que no vácuo, a velocidade da luz c é relacionada à frequência e ao comprimento de onda por:
c = lambda f
Rearranjando para lambda:
lambda = cf = 3,00 times 10^8 m/s4,00 times 10^14 Hz = 7,50 times 10^-7 m
Agora, calculamos k:
k = 2pilambda = 2pi7,50 times 10^-7 m approx 8,38 times 10^6 rad/m

Passo 5

No instante t=0, o campo elétrico no ponto P tem valor de +Em4e e está diminuindo com o tempo. Isso nos dá informações sobre a fase da onda nesse ponto. Vamos expressar isso matematicamente:
E(xP, 0) = Em sin(kxP + phi) = Em4e
Além disso, sabemos que o campo está diminuindo, o que significa que a derivada temporal dE/dt é negativa:
dEdt = -Em omega cos(kxP + phi) < 0
Isso implica que cos(kxP + phi) > 0, já que omega > 0 e Em > 0.

Passo 6

Vamos resolver a equação:
sin(kxP + phi) = 14e
Isso nos dá:
kxP + phi = arcsin(14e)
Vamos chamar essa fase de theta:
theta = kxP + phi = arcsin(14e)

Passo 7

Queremos encontrar a posição x onde o campo elétrico E é igual a zero. Isso ocorre quando o argumento do seno é igual a 0, pi, 2pi, etc. A primeira posição após P onde E=0 será quando a fase aumentar em pi - theta.
Portanto, a distância De que procuramos satisfaz:
k De

Passo 8

Isolamos De:
De
Substituindo o valor de k que calculamos anteriormente:
De

Passo 9

Vamos calcular arcsin(14e). Sabemos que e approx 2,718, então:
14e approx 14 times 2,718 approx 0,0922
Portanto:
arcsin(0,0922) approx 0,0924 rad
Agora, substituindo na equação de De:
De

Resposta

A distância entre o ponto P e o primeiro ponto com E=0 no sentido positivo do eixo x é aproximadamente 3,64 times 10^-7 metros.

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