18.30 O germânio, ao qual foram adicionados 10^{24} \mathrm{~m}^{-3} átomos de As, é um semicondutor extrínseco à temperatura ambiente, e virtualmente todos os átomos de
As podem ser considerados como estando ionizados (isto é, existe um portador de carga para cada átomo de As).
(a) Esse material é do tipo n ou do tipo p ?
(b) Calcule a condutividade elétrica desse material, supondo que as mobilidades dos elétrons e dos buracos sejam de 0,1 e 0,05 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{V} \cdot \mathrm{s}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado diz que temos germânio dopado com N_D=10^{24} \,\mathrm m^{-3} de átomos de arsênio (As), que são doadores e estão praticamente todos ionizados à temperatura ambiente. Pergunta-se (a) se o material é do tipo n ou p e (b) sua condutividade elétrica, sabendo que as mobilidades são \mu_n=0,1 \,\mathrm m^2/\mathrm{V\,s} e \mu_p=0,05 \,\mathrm m^2/\mathrm{V\,s}. Vamos usar conceitos de semicondutores extrínsecos e a fórmula
\sigma = q\bigl(n\,\mu_n + p\,\mu_p\bigr).

Passo 2

Átomos de arsênio \text{As} são elementos do grupo V e, ao doar elétrons para a banda de condução, geram excesso de elétrons livres. Logo, o semicondutor é do tipo n, pois o portador majoritário é o elétron.

Passo 3

Em um semicondutor do tipo n fortemente dopado temos, a princípio,
n \approx N_D = 10^{24}\,\mathrm m^{-3}.
Os buracos são minoria e sua densidade p é dada pela relação de massa de ação:
p = \frac{n_i^2}{n},
onde n_i é a concentração intrínseca do germânio a 300\,\mathrm K. Tomando o valor típico n_i \approx 2{,}3\times10^{19}\,\mathrm m^{-3}, obtém-se
p \approx \frac{(2{,}3\times10^{19})^2}{10^{24}} =5{,}3\times10^{14}\,\mathrm m^{-3},
que é muito menor que n.

Passo 4

Substituindo em
\sigma = q\bigl(n\,\mu_n + p\,\mu_p\bigr),
com q=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm C, calcula-se separadamente a contribuição dos elétrons e dos buracos:
\sigma_n = q\,n\,\mu_n =1{,}6\times10^{-19}\times10^{24}\times0,1 =1{,}6\times10^{4}\,\mathrm S/m,
\sigma_p = q\,p\,\mu_p =1{,}6\times10^{-19}\times5{,}3\times10^{14}\times0,05 \approx4{,}2\times10^{-6}\,\mathrm S/m.
Como \sigma_p é desprezível diante de \sigma_n, a condutividade total é praticamente \sigma_n.

Resposta

(a) É um semicondutor do tipo n.
(b) \displaystyle \sigma\approx1,6\times10^{4}\,\mathrm S/m.

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