18.32 Calcule a condutividade do silício intrínseco a 80^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a condutividade do silício intrínseco a 80^\circ\text{C}, isto é T=80+273=353 K. A teoria diz que a condutividade elétrica é dada por
\sigma = q\bigl(n\mu_n + p\mu_p\bigr)
e, em silício intrínseco, n=p=n_i, de modo que
\sigma = q\,n_i\bigl(\mu_n + \mu_p\bigr).
Vamos precisar de uma expressão para a concentração intrínseca n_i(T) e das mobilidades \mu_n(T) e \mu_p(T) na temperatura desejada.

Passo 2

A concentração intrínseca segue o modelo aproximado
n_i(T)=B\,T^{3/2}\exp\Bigl(-\frac{E_g}{2\,k_B\,T}\Bigr),
onde E_g=1{,}12 eV é a largura de banda do silício e k_B=8{,}617\times10^{-5} eV/K. Para determinar B, usamos o valor conhecido
n_i(300\text{ K}) = 1\times10^{10}\,\text{cm}^{-3}.

Passo 3

Em T=300 K, isolamos B:
B =\frac{n_i(300)}{300^{3/2}\,\exp\bigl(-\tfrac{E_g}{2k_B\,300}\bigr)} =\frac{1\times10^{10}}{300^{3/2}\,\exp\bigl(-\tfrac{1{,}12}{2\cdot8{,}617\times10^{-5}\cdot300}\bigr)} \approx4{,}83\times10^{15}\,\text{cm}^{-3}\text{K}^{-3/2}.

Passo 4

Agora em T=353 K:
n_i(353) =4{,}83\times10^{15}\,(353)^{3/2} \exp\Bigl(-\frac{1{,}12}{2\cdot8{,}617\times10^{-5}\cdot353}\Bigr) \approx3{,}3\times10^{11}\,\text{cm}^{-3}.

Passo 5

As mobilidades dependem de T segundo leis empíricas. Tomando referências em 300 K de \mu_n(300)=1500 cm ^2/Vs e \mu_p(300)=450 cm ^2/Vs, usamos
\mu_n(T)=1500\Bigl(\frac{T}{300}\Bigr)^{-2{,}42}, \quad \mu_p(T)=450\Bigl(\frac{T}{300}\Bigr)^{-2{,}20}.
Para T=353 K:
\mu_n(353)\approx1500\,(1{,}1767)^{-2{,}42}\approx1012\;\text{cm}^2/\text{Vs},
\mu_p(353)\approx450\,(1{,}1767)^{-2{,}20}\approx315\;\text{cm}^2/\text{Vs},
logo \mu_n+\mu_p\approx1327 cm ^2/Vs.

Passo 6

Finalmente, com q=1{,}6\times10^{-19} C,
\sigma =1{,}6\times10^{-19}\times3{,}3\times10^{11}\times1327 \approx7{,}0\times10^{-5}\,\text{S/cm}.
Em unidades de S/m 1\,\text{S/cm}=100\,\text{S/m}:
\sigma\approx7{,}0\times10^{-3}\,\text{S/m}.

Resposta

A condutividade do silício intrínseco a 80^\circ\text{C} é aproximadamente \displaystyle 7,0\times10^{-5},S/cm \approx7,0\times10^{-3},S/m.

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