Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, …, vn vetores em V. O conjunto W formado por todas as combinações lineares destes vetores é um subespaço vetorial de V. Chamamos [v1, v2, …, vn] de gerador de W ou dizemos que W é gerado por v 1, v2, …, vn}.
W=[v 1, v 2, ldots, v n]=v in V mid v=a 1 v 1+a 2 v 2+ldots+a n v n, a i in R
Exemplo: Determine um gerador para W=(x, y, z) in R^3 mid x-y+2 z=0

Passo 1

O enunciado pede um gerador para o subespaço
W = (x,y,z)inR^3 mid x - y + 2z = 0
O conteúdo é de subespaços de dimensão inferior e geração por combinações lineares: vamos expressar os pontos de W em termos de parâmetros livres.

Passo 2

Da condição x - y + 2z = 0 isolamos x:
x = y - 2z

Passo 3

Para parametrizar, basta escolher duas variáveis livres. Tomemos
y = s, z = t, s,tinR
Assim cada vetor em W pode ser escrito como
(x,y,z) = (,s - 2t,;s,;t,)

Passo 4

Reescrevendo em forma de combinação linear,
(s - 2t,,s,,t) = s,(1,1,0) ;+; t,(-2,0,1)
Isso mostra que todo vetor de W é combinação linear de (1,1,0) e (-2,0,1).

Resposta

Um gerador de W é
W = [,(1,1,0),;(-2,0,1),]

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