18 g de água a
são colocados em um refrigerador a
. Através de um cálculo termodinâmico, demonstre que, espontaneamente, a água será transformada em gelo.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
-
Dados do problema (peguei estes valores do enunciado):
- Massa da água:
. - Temperatura inicial da água:
. - Temperatura do refrigerador (ambiente externo):
.
- Massa da água:
-
O que se pede: demonstrar, por cálculo termodinâmico, que espontaneamente a água será transformada em gelo ao ser colocada nesse refrigerador.
-
Observações úteis que vou usar (valores de propriedades termo-físicas tomados como constantes médias; esses números são valores usuais de referência):
-
de água corresponde a mol (massa molar da água ). - Capacidade térmica molar do líquido água (aprox):
. - Capacidade térmica molar do gelo (aprox):
. - Calor latente de fusão (entalpia de fusão) da água:
. - Temperaturas em kelvin que usarei:
- Temperatura inicial
. - Temperatura de fusão
. - Temperatura do refrigerador
.
- Temperatura inicial
-
Passo 2
Estratégia de cálculo (sem resolver ainda): a prova de espontaneidade será feita comparando a variação total de entropia do sistema + ambiente. A transformação será espontânea se a variação total de entropia
for positiva.
Vou decompor a transformação da água em três etapas reversíveis ideais (modelo útil para cálculo de entropia):
- Resfriamento da água líquida de
até . - Congelamento (fusão inversa) à temperatura
. - Resfriamento do gelo de
até .
Para cada etapa calculo a variação de entropia do sistema (a água) e, pela conservação de energia, a quantidade de calor trocada com o ambiente para obter a variação de entropia do ambiente.
Passo 3
Fórmulas e conceitos que vou usar (explicação didática):
- Definição prática de entropia para um processo reversível de troca de calor: a variação de entropia ao aquecer/resfriar um corpo com capacidade térmica
é
Se
for aproximadamente constante na faixa de temperatura, essa integral vira a fórmula simples
Aqui
é a capacidade térmica molar (unidade
),
e
são temperaturas em kelvin.
- Para uma mudança de fase reversível (aqui congelamento à temperatura de fusão
), a variação de entropia do sistema é a entalpia trocada dividida pela temperatura constante:
onde o sinal negativo aparece porque o sistema (a água) perde calor ao congelar;
é o calor latente de fusão por mol.
- A variação de entropia do reservatório (refrigerador) que recebe o calor
a temperatura constante é
- Conservação de energia (aqui, entalpia total trocada pela água) dá o calor cedido pela água:
Esse
será negativo (a água perde calor); o ambiente recebe
.
Passo 4
Cálculo da variação de entropia da água nas três etapas (trabalho completamente detalhado):
- Resfriamento da água líquida de
até . Usando constante:
Substituindo valores:
Calcule o logaritmo:
. Então
- Congelamento à
:
Fazendo a divisão:
- Resfriamento do gelo de
até :
Substituindo:
Calcule o logaritmo:
. Então
Agora a variação total de entropia da água é a soma:
Portanto
Passo 5
Cálculo do calor cedido pela água (energia) para obter a variação de entropia do ambiente:
Usando a expressão da variação de entalpia (calor cedido pela água no processo a pressão constante):
Substituindo valores numéricos:
Calcule cada termo:
Somando:
Isso indica que a água perde
; o ambiente recebe
A variação de entropia do ambiente (reservatório à temperatura constante
) é:
Fazendo a divisão:
Passo 6
Somando as variações de entropia do sistema e do ambiente:
Logo
Como
, a transformação é espontânea do ponto de vista da segunda lei da termodinâmica.
Passo 7
Comentários finais e justificativas didáticas:
- Interpretação física simples: a água perde entropia ao se resfriar e congelar (processo local ordenador), mas o calor liberado aumenta a entropia do refrigerador. Neste caso o aumento de entropia do refrigerador é maior que a perda de entropia da água, resultando em aumento líquido de entropia e, portanto, processo espontâneo.
- Aproximações feitas: usei capacidades térmicas moleculares médias constantes e o ponto de fusão
como temperatura de congelamento. Essas aproximações são muito boas para estimativa qualitativa e quantitativa neste problema (erro pequeno comparado ao resultado positivo de ). - Conclusão prática: com o refrigerador a
a água de pode e vai congelar espontaneamente — não é preciso fornecer trabalho externo; a troca de calor com o reservatório frio basta.
Resposta
Sim. A transformação é espontânea, pois
.