Calcule a variação de entropia para quando 1 mol de gelo é aquecido de 250 K até 300 K \left(\right. dados: \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}}( gelo )=37,7 \mathrm{~J} . \mathrm{K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}, \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}}( água )=75.3 \mathrm{~J} . \mathrm{K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}, \Delta \mathrm{H}^{0} fus ( gelo )=6,02 \mathrm{kJmol}^{-1} ).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (tudo que vamos precisar):
  • Pedido: calcular a variação total de entropia quando 1 mol de gelo é aquecido de 250\\ \text{K} até 300\\ \text{K}.
  • Dados fornecidos:
    • n=1\\ \text{mol}.
    • C_{p,m}(\text{gelo}) = 37,7\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}.
    • C_{p,m}(\text{água}) = 75,3\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}á.
    • \Delta H^\circ_{\text{fus}}(\text{gelo}) = 6,02\\ \text{kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = 6020\\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}.
  • Informação necessária (usada comumente): temperatura de fusão do gelo \,T_{\text{fus}}=273,15\\ \text{K}.
  • Observação sobre o processo que vamos usar: o aquecimento ocorre em três etapas físicas distintas — (i) aquecer o gelo sólido de 250\\ \text{K} até T_{\text{fus}}=273{,}15\\ \text{K}; (ii) fusão (mudança de fase) a T_{\text{fus}}; (iii) aquecer a água líquida de 273{,}15\\ \text{K} até 300\\ \text{K}. A variação total de entropia é a soma das variações em cada etapa.

Passo 2

Fórmulas e ideia física (mini-aula): como calculamos variação de entropia em cada etapa.
  • Definição básica (relevante para aquecimento reversível a pressão constante): a variação elementar de entropia é
dS = \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Para um aquecimento reversível a pressão constante, \delta Q_{\text{rev}} = C_p\,dT. Assim, integrando entre duas temperaturas T_1 e T_2 com C_p aproximadamente constante:
\Delta S_{\text{aquec}}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p}{T}\,dT = C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Aqui:
  • C_p é a capacidade calorífica molar à pressão constante (unidade \text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}),
  • T é a temperatura em kelvin,
  • \Delta S terá unidade \text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} (aqui como temos 1 mol, damos o valor por mol).
  • Para uma mudança de fase reversível (fusão) que ocorre a temperatura constante T_{\text{fus}}, a variação de entropia é
\Delta S_{\text{fus}} = \frac{\Delta H_{\text{fus}}}{T_{\text{fus}}},
onde \Delta H_{\text{fus}} é a entalpia molar de fusão (unidade \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}).
Vamos aplicar essas fórmulas em cada etapa, usando os C_p fornecidos e T_{\text{fus}}=273{,}15\\ \text{K}.

Passo 3

Etapa 1 — aquecer o gelo de 250\\ \text{K} até 273{,}15\\ \text{K}.
Usamos
\Delta S_1 = C_{p,m}(\text{gelo})\ln\!\left(\frac{T_{\text{fus}}}{T_{\text{inicial}}}\right).
Substituindo números (para 1 mol):
\Delta S_1 = 37{,}7\\ \ln\!\left(\frac{273{,}15}{250}\right)\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}.
Calculemos passo a passo:
\frac{273{,}15}{250} \approx 1{,}0926,\qquad \ln(1{,}0926)\approx 0{,}08855.
Logo
\Delta S_1 \approx 37{,}7\times 0{,}08855 \approx 3{,}34\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}.

Passo 4

Etapa 2 — fusão do gelo a T_{\text{fus}}=273{,}15\\ \text{K}.
Usamos
\Delta S_2 = \frac{\Delta H_{\text{fus}}}{T_{\text{fus}}}.
Substituindo:
\Delta S_2 = \frac{6020\\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}}{273{,}15\\ \text{K}} \approx 22{,}05\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}.

Passo 5

Etapa 3 — aquecer a água líquida de 273{,}15\\ \text{K} até 300\\ \text{K}.
Usamos
\Delta S_3 = C_{p,m}(\text{água})\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) =75{,}3\\ \ln\!\left(\frac{300}{273{,}15}\right)\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}.á
Calculemos:
\frac{300}{273{,}15}\approx 1{,}0983,\qquad \ln(1{,}0983)\approx 0{,}09378,
então
\Delta S_3 \approx 75{,}3\times 0{,}09378 \approx 7{,}06\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}.

Passo 6

Soma das três contribuições — variação total de entropia.
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3.
Substituindo os valores calculados:
\Delta S_{\text{total}}\approx 3{,}34 + 22{,}05 + 7{,}06 = 32{,}45\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}.
Comentário rápido e motivador: deu positivo (como esperado) — o sistema ganhou entropia ao ser aquecido e ao passar por fusão. Boa! Isso significa que a desordem térmica do sistema aumentou no processo.

Resposta

\Delta S_{\text{total}} \approx 32{,}5\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}

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