18 A base de um cone circular reto tem 2 cm de raio e é congruente a cada base de um cilindro circular reto. Se esses dois sólidos têm a mesma área lateral, então a altura h do cone e a altura H do cilindro são tais que:
a) h=2 H
b) h=2 pi H3
c) h=pi H3
d) h=2 raizH^2-1
e) h=raizH^2-4

Passo 1

O enunciado nos dá um cone circular reto e um cilindro circular reto com raios de base congruentes R=2 cm, pede-se a relação entre a altura h do cone e a altura H do cilindro quando suas áreas laterais são iguais. O conteúdo aqui é geometria de sólidos, usando fórmulas de área lateral e o teorema de Pitágoras para a geratriz do cone.

Passo 2

A área lateral do cilindro é
Alat,cil = 2pi R H
e a área lateral do cone é
Alat,con = pi R,l,
onde l é a geratriz do cone.

Passo 3

Pelo teorema de Pitágoras no triângulo reto formado por R, h e l, temos
l = raizR^2 + h^2

Passo 4

Como as áreas laterais são iguais, impomos
pi R,l = 2pi R,H
Cancelando pi R em ambos os lados resulta em
l = 2H

Passo 5

Substituindo l=raizR^2 + h^2 e R=2 na igualdade l=2H, vem
raiz4 + h^2 = 2H
Elevando ao quadrado,
4 + h^2 = 4H^2 Longrightarrow h^2 = 4H^2 - 4 = 4(H^2 - 1) Longrightarrow h = 2raizH^2 - 1

Resposta

(d)

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