[2 Pontos] Determine a área da região delimitada pelo laço da curva x=1-t^2, y=t-t^3, t in[0,1]

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x(t)=1 - t^2, y(t)=t - t^3,
e pede a área do laço fechado que ela forma. O conteúdo aqui é área por curva fechada, que podemos calcular usando a fórmula de Green na forma paramétrica:
A = 12 oint (x,dy - y,dx)
ou seja, em parâmetros
A = 12 integralt1^t2 l(x(t),y'(t) - y(t),x'(t)r),dt,
onde t1 e t2 são os valores de t que fecham o laço.

Passo 2

Precisamos achar os t em que a curva se intersecta de modo não trivial. Igualando
x(t1)=x(t2)implies 1 - t1^2 = 1 - t2^2implies t2 = pm t1,
e
y(t1)=y(t2)implies t1 - t1^3 = t2 - t2^3
Se t2 = -t1, então
t1 - t1^3 = -t1 + t1^3 implies 2t1(1 - t1^2)=0
t1=0 (interseção trivial no ponto inicial) ou t1=pm1. Para t1=1 e t2=-1 obtém-se o ponto (0,0) duas vezes, fechando um laço. Logo o laço vai de t=-1 até t=1.

Passo 3

Vamos aplicar
A = 12 integral-1^1 l(x(t),y'(t) - y(t),x'(t)r),dt
Calculamos primeiro as derivadas
x'(t) = -2t, y'(t)=1 - 3t^2

Passo 4

Montamos o integrando:
x,y' - y,x' = (1 - t^2)(1 - 3t^2);-;(t - t^3)(-2t) =1 -4t^2 +3t^4 +2t^2 -2t^4 =1 -2t^2 +t^4
Integramos de -1 a 1:
integral-1^1(1 -2t^2 +t^4),dt =l[t - tfrac23t^3 + tfrac15t^5r]-1^1 =2l(1 - tfrac23 + tfrac15r) = 1615

Passo 5

Multiplicando por tfrac12 na fórmula de área, obtemos
A = 12cdot 1615 = 815

Resposta

A área do laço é 815.

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