[2 Pontos] Determine a área da região delimitada pelo laço da curva
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede a área do laço fechado que ela forma. O conteúdo aqui é área por curva fechada, que podemos calcular usando a fórmula de Green na forma paramétrica:
ou seja, em parâmetros
onde
e
são os valores de
que fecham o laço.
Passo 2
Precisamos achar os
em que a curva se intersecta de modo não trivial. Igualando
e
Se
, então
dá
(interseção trivial no ponto inicial) ou
. Para
e
obtém-se o ponto
duas vezes, fechando um laço. Logo o laço vai de
até
.
Passo 3
Vamos aplicar
Calculamos primeiro as derivadas
Passo 4
Montamos o integrando:
Integramos de
a
:
Passo 5
Multiplicando por
na fórmula de área, obtemos
Resposta
A área do laço é
.