Considere um tubo horizontal de D=2 \mathrm{~cm} e comprimento de 12 m em escoa um fluido de viscosidade dinâmica igual a 0,28 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} e massa específica igual a 950 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A vazão volumétrica do fluido é 21 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determine: a) se o regime é laminar ou turbulento; b) Determine a diferença de pressão do escoamento; c) qual deve ser o ângulo de inclinação da tubulação para que o fluido escoe com a mesma vazão e com pressão constante ao longo de todo o escoamento.

Passo 1

O enunciado descreve um tubo horizontal de diâmetro D=0{,}02\:\mathrm{m} e comprimento L=12\:\mathrm{m} por onde escoa um fluido com viscosidade dinâmica \mu=0{,}28\:\mathrm{N\,s/m^2}, densidade \rho=950\:\mathrm{kg/m^3} e vazão volumétrica Q=21\times10^{-6}\:\mathrm{m^3/s}. Vamos determinar:
a) o regime de escoamento (laminar ou turbulento) usando o número de Reynolds;
b) a queda de pressão ao longo de L assumindo escoamento laminar (Lei de Hagen–Poiseuille);
c) o ângulo de inclinação \theta tal que a pressão permaneça constante (isto é, a componente peso compense a queda de pressão por atrito).

Passo 2

Para saber se o escoamento é laminar ou turbulento, calculamos a velocidade média \bar v e o número de Reynolds \mathrm{Re}.
A área da seção transversal é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0{,}02)^2}{4}\approx3{,}14\times10^{-4}\:\mathrm{m^2}.
Logo,
\bar v = \frac{Q}{A} = \frac{21\times10^{-6}}{3{,}14\times10^{-4}}\approx0{,}067\:\mathrm{m/s}.
O número de Reynolds é
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,\bar v\,D}{\mu} = \frac{950\cdot0{,}067\cdot0{,}02}{0{,}28}\approx4{,}5.
Como \mathrm{Re}\ll2000, o escoamento é claramente laminar.

Passo 3

Em escoamento laminar em tubo circular, usa-se a Lei de Hagen–Poiseuille para a queda de pressão
\Delta P = \frac{128\,\mu\,Q\,L}{\pi\,D^4}.
Substituindo os valores:
\Delta P = \frac{128\cdot0{,}28\cdot(21\times10^{-6})\cdot12}{\pi\,(0{,}02)^4} \approx1{,}8\times10^4\:\mathrm{Pa}.

Passo 4

Para que a pressão permaneça constante ao longo do tubo inclinado de ângulo \theta, a variação de pressão por atrito \Delta P deve ser compensada pela variação de pressão hidrostática \rho g\,\Delta z. Como \Delta z = L\sin\theta, impõe-se
\rho\,g\,L\,\sin\theta = \Delta P.
Então
\sin\theta = \frac{\Delta P}{\rho\,g\,L} = \frac{1{,}8\times10^4}{950\cdot9{,}81\cdot12} \approx0{,}16,
logo
\theta = \arcsin(0{,}16)\approx9{,}2^\circ.

Resposta

a) O escoamento é laminar ( \mathrm{Re}\approx4{,}5<2000).
b) A diferença de pressão é \Delta P\approx1,8\times10^4\:\mathrm{Pa}.
c) O ângulo de inclinação deve ser \theta\approx9{,}2^\circ.

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