Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento
, que obedece à equação:
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I)
(II)
(III)
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A)
(B)
(C)
Determine a solução
do problema para:
Condições Iniciais III e
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
(C)
Condições Iniciais III e
Passo 1
O problema é a equação da onda unidimensional
com condições de contorno
e condições iniciais
O comprimento da corda é
e a velocidade de onda é
. Vamos usar a expansão em série de Fourier senoidal para impor automaticamente as condições de contorno nulas.
Passo 2
A solução geral via série de Fourier senoidal é
onde
e os coeficientes são dados por
Passo 3
Calculando
Use integração por partes com
,
,
. Obtemos
Passo 4
Agora
Como
, segue
Em particular
para
par e
para
ímpar.
Passo 5
Substituindo
e
na série geral com
e
, obtemos