Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento L=2, que obedece à equação:
9 ux x=ut t
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I) u(x, 0)=0
(II) u(x, 0)=sen(pi x2)
(III) u(x, 0)=x
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A) ut(x, 0)=0
(B) ut(x, 0)=-sen(3 pi x2)
(C) ut(x, 0)=1
Determine a solução u(x, t) do problema para:
Condições Iniciais III e C

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional
utt-9,uxx=0, 0<x<2,;t>0,
com condições de contorno
u(0,t)=0, u(2,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=f(x)=x, ut(x,0)=g(x)=1
O comprimento da corda é L=2 e a velocidade de onda é c=3. Vamos usar a expansão em série de Fourier senoidal para impor automaticamente as condições de contorno nulas.

Passo 2

A solução geral via série de Fourier senoidal é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)sin!l(tfracnpi xLr),
onde
omegan=npi cL=3npi2,
e os coeficientes são dados por
An=2Lintegral0^Lf(x)sin!l(tfracnpi xLr),dx, Bn=2omegan,Lintegral0^Lg(x)sin!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Calculando
An=22integral0^2xsin!l(tfracnpi x2r),dx =integral0^2xsin!l(tfracnpi x2r),dx
Use integração por partes com u=x, dv=sin(kx)dx, k=tfracnpi2. Obtemos
An =l[-xcos(kx)k+sin(kx)k^2r]0^2 =-2cos(npi)k =-2(-1)^n,npi/2, =-4(-1)^nnpi =4(-1)^n+1npi

Passo 4

Agora
Bn=2omegan,2integral0^21cdotsin!l(tfracnpi x2r),dx =1omeganl[-cos(tfracnpi x2),npi/2,r]0^2 =1omegan2l(1-(-1)^nr)npi
Como omegan=tfrac3npi2, segue
Bn =2(1-(-1)^n)npi,23npi =4l(1-(-1)^nr)3n^2pi^2
Em particular Bn=0 para n par e Bn=tfrac83n^2pi^2 para n ímpar.

Passo 5

Substituindo An e Bn na série geral com L=2 e omegan=tfrac3npi2, obtemos
u(x,t) =sumn=1^inftyl(4(-1)^n+1npicos!l(tfrac3npi t2r) +4l(1-(-1)^nr)3n^2pi^2sin!l(tfrac3npi t2r)r) sin!l(tfracnpi x2r)

Resposta

u(x,t) =sumn=1^inftygl(4(-1)^n+1npicos!l(3npi t2r) +4l(1-(-1)^nr)3n^2pi^2sin!l(3npi t2r)gr) sin!l(npi x2r)

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