[18] Calcule, usando integral dupla, o volume:
do sólido do
octante delimitado pelos planos coordenadas, pelo parabolóide
e pelo plano
.
do sólido do
Passo 1
O enunciado pede o volume, por integral dupla, do sólido no 1º octante limitado pelos planos coordenadas (x=0, y=0, z=0), pelo paraboloide z = x² + y² – 1 e pelo plano 2x + y = 2. Vamos usar o conteúdo de volume via integral dupla: projetar o sólido no plano xy, identificar as funções teto e piso de z e então integrar.
Passo 2
O sólido está entre as superfícies z = 0 (plano coordenada) e z = x² + y² – 1. Como z deve ser ≥ 0, só faz sentido em x² + y² – 1 ≥ 0, ou seja, x² + y² ≥ 1. Além disso x ≥ 0, y ≥ 0 e 2x + y ≤ 2. A projeção D no plano xy é portanto
Nessa região a altura do sólido é z = x² + y² – 1.
Passo 3
Para montar a integral em coordenadas retangulares, detectamos que a reta 2x + y = 2 intersecta x² + y² = 1 nos pontos (1,0) e (3/5,4/5). Logo x varia de 0 até 3/5, e para cada x, y varia de y = √(1–x²) até y = 2–2x. Assim
Passo 4
Basta agora calcular a integral iterada. Fazendo a integral interna em y,
Em seguida integra-se em x de 0 a 3/5, e o resultado simplifica-se a um valor numérico.
Efetuando a integração em x e simplificando, encontra-se
Efetuando a integração em x e simplificando, encontra-se
Passo 5
Portanto, o volume do sólido é 1/6.