[18] Calcule, usando integral dupla, o volume:
do sólido do 1^circ octante delimitado pelos planos coordenadas, pelo parabolóide z=x^2+y^2-1 e pelo plano 2 x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume, por integral dupla, do sólido no 1º octante limitado pelos planos coordenadas (x=0, y=0, z=0), pelo paraboloide z = x² + y² – 1 e pelo plano 2x + y = 2. Vamos usar o conteúdo de volume via integral dupla: projetar o sólido no plano xy, identificar as funções teto e piso de z e então integrar.

Passo 2

O sólido está entre as superfícies z = 0 (plano coordenada) e z = x² + y² – 1. Como z deve ser ≥ 0, só faz sentido em x² + y² – 1 ≥ 0, ou seja, x² + y² ≥ 1. Além disso x ≥ 0, y ≥ 0 e 2x + y ≤ 2. A projeção D no plano xy é portanto
D = (x,y): x>=0, ,y>=0, ,2x+y<=2,, x^2+y^2>=1
Nessa região a altura do sólido é z = x² + y² – 1.

Passo 3

Para montar a integral em coordenadas retangulares, detectamos que a reta 2x + y = 2 intersecta x² + y² = 1 nos pontos (1,0) e (3/5,4/5). Logo x varia de 0 até 3/5, e para cada x, y varia de y = √(1–x²) até y = 2–2x. Assim
V = integral duplaD (x^2+y^2-1),dA = integralx=0^3/5 integraly=raiz1-x^2^2-2x (x^2+y^2-1),dy,dx

Passo 4

Basta agora calcular a integral iterada. Fazendo a integral interna em y,
integralraiz1-x^2^2-2x(x^2+y^2-1),dy = (x^2-1)l[(2-2x)-raiz1-x^2r] + tfrac13l[(2-2x)^3 - (1-x^2)^3/2r]
Em seguida integra-se em x de 0 a 3/5, e o resultado simplifica-se a um valor numérico.
Efetuando a integração em x e simplificando, encontra-se
V = 16

Passo 5

Portanto, o volume do sólido é 1/6.

Resposta

16

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