Questão 1. Calcule as integrais ao longo das curvas indicadas utilizando a parametrização dada ou qualquer outra parametrização que venha a ser mais útil:
R, ao longo do círculo de raio centrado na origem;

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral complexa integralC z^n ,dz ao longo do círculo de raio R centrado na origem. O conteúdo envolve parametrização de curvas em C e, opcionalmente, o uso do teorema de Cauchy para funções analíticas.

Passo 2

Vamos parametrizar o círculo por z(t) = R e^i t, para tin[0,2pi]. Assim, dz = i R e^i t ,dt. Substituindo em bloco na integral, obtemos:
integralC z^n ,dz = integral0^2pi (R e^i t)^n cdot i R e^i t ,dt = i R^n+1 integral0^2pi e^i(n+1)t ,dt

Passo 3

Agora, usamos a identidade de integrais de exponencial complexa:
Seja m um inteiro, então
integral0^2pi e^i m t ,dt = 0, & mneq 0,2pi, & m=0
Aqui, m = n+1.

Passo 4

Para n+1 neq 0 (ou seja, nneq -1), a integral fica
i R^n+1 cdot 0 = 0
Para n+1 = 0 (ou seja, n = -1), a integral vale
i R^0 cdot 2pi = 2pi i
Isso também está de acordo com o teorema de Cauchy, que diz que z^-1 tem um pólo simples na origem e contribui 2pi i.

Resposta

0,;se nneq -1; 2pi i,;se n=-1

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