Questão 1. Calcule as integrais ao longo das curvas indicadas utilizando a parametrização dada ou qualquer outra parametrização que venha a ser mais útil:
, ao longo do círculo de raio
centrado na origem;
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral complexa
ao longo do círculo de raio
centrado na origem. O conteúdo envolve parametrização de curvas em
e, opcionalmente, o uso do teorema de Cauchy para funções analíticas.
Passo 2
Vamos parametrizar o círculo por
, para
. Assim,
. Substituindo em bloco na integral, obtemos:
Passo 3
Agora, usamos a identidade de integrais de exponencial complexa:
Seja um inteiro, então
Seja
Aqui,
.
Passo 4
Para
(ou seja,
), a integral fica
Para
Isso também está de acordo com o teorema de Cauchy, que diz que
tem um pólo simples na origem e contribui
.