Para uma epidemia, em uma certa cidade, o setor de saúde indicou que o número
de pessoas infectadas no instante
(a partir do início da epidemia) é dado por
, entre os
e
.
(a) Construa o gráfico desta função
.
(b) Obtenha a taxa instantânea da variação da doença quando
.
© Obtenha a taxa média da variação da doença entre os instantes
e
.
(a) Construa o gráfico desta função
(b) Obtenha a taxa instantânea da variação da doença quando
© Obtenha a taxa média da variação da doença entre os instantes
Passo 1
A função que descreve o número de infectados é
para
. O conteúdo é cálculo de derivadas e taxas de variação. Precisamos: montar um esboço do gráfico, calcular a derivada
para a taxa instantânea e aplicar a fórmula da taxa média.
Passo 2
Para esboçar o gráfico de
, vamos avaliar alguns pontos-chave: zeros em
e em
(este fora do nosso intervalo), valores em
:
Depois juntamos esses pontos e lembramos que a função é côncava para cima até
(pois
se
) e côncava para baixo depois.
Passo 3
Para achar a taxa instantânea usamos derivadas. A derivada de
é
Em
temos
Passo 4
A taxa média de variação entre
e
é dada por
Calculando:
Logo
Passo 5
O gráfico fica então como um cuboide crescente que inicia em
, passa pelos pontos calculados e atinge
, com mudança na concavidade em
.
Resposta
(a) Esboço de uma curva cúbica que começa em (0,0), passa por (10,5000), (20,16000), (30,27000), (40,32000), sendo côncava para cima até t=20 e para baixo depois. (b) Taxa instantânea em t=30: 900 infectados/dia. © Taxa média entre t=25 e t=35: 875 infectados/dia.