Para uma epidemia, em uma certa cidade, o setor de saúde indicou que o número P de pessoas infectadas no instante t (a partir do início da epidemia) é dado por P(t)=60 t^2-t^3, entre os dias t=0 e t=40.
(a) Construa o gráfico desta função P=P(t).
(b) Obtenha a taxa instantânea da variação da doença quando t=30.
© Obtenha a taxa média da variação da doença entre os instantes t=25 e t=35.

Passo 1

A função que descreve o número de infectados é P(t)=60,t^2 - t^3 para 0 <= t <= 40. O conteúdo é cálculo de derivadas e taxas de variação. Precisamos: montar um esboço do gráfico, calcular a derivada P'(t) para a taxa instantânea e aplicar a fórmula da taxa média.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de P(t), vamos avaliar alguns pontos-chave: zeros em t=0 e em t=60 (este fora do nosso intervalo), valores em t=0,10,20,30,40:
P(0)=0,
P(10)=60cdot100-10^3=5000,
P(20)=60cdot400-20^3=16000,
P(30)=60cdot900-30^3=27000,
P(40)=60cdot1600-40^3=32000
Depois juntamos esses pontos e lembramos que a função é côncava para cima até t=20 (pois P''(t)=120-6t>0 se t<20) e côncava para baixo depois.

Passo 3

Para achar a taxa instantânea usamos derivadas. A derivada de P(t) é
P'(t)=ddtl(60t^2 - t^3r)=120t - 3t^2
Em t=30 temos
P'(30)=120cdot30 - 3cdot30^2=3600-2700=900 Isso significa que, no trigésimo dia, o número de infectados cresce a 900 pessoas por dia.

Passo 4

A taxa média de variação entre t=25 e t=35 é dada por
P(35)-P(25)35-25
Calculando:
P(35)=60cdot35^2 - 35^3=30625,
P(25)=60cdot25^2 - 25^3=21875,
Logo
30625-2187510=875010=875 Isso equivale a 875 pessoas por dia em média.

Passo 5

O gráfico fica então como um cuboide crescente que inicia em (0,0), passa pelos pontos calculados e atinge (40,32000), com mudança na concavidade em t=20.

Resposta

(a) Esboço de uma curva cúbica que começa em (0,0), passa por (10,5000), (20,16000), (30,27000), (40,32000), sendo côncava para cima até t=20 e para baixo depois. (b) Taxa instantânea em t=30: 900 infectados/dia. © Taxa média entre t=25 e t=35: 875 infectados/dia.

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