Encontre o volume do sólido que é limitado pela curva , o eixo , a reta , obtido por rotação ao redor do eixo x.
( u. v.)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y=3√x, o eixo x e a reta x=3 em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volumes de sólidos de revolução, e vamos precisar usar o método dos discos e a fórmula de volume V=∫π[y(x)]²dx entre os limites de x.

Passo 2

Aplicando o método dos discos, a geratriz é y(x)=3√x e os limites são x=0 até x=3. Logo o volume fica:
V=integral0^3pil[3raizxr]^2,dx
Dentro do integral simplificamos a parte quadrada: l(3raizxr)^2=9x
Então
V=integral0^39pi x,dx

Passo 3

Agora é só integrar e avaliar de 0 a 3. Primeiro fatoramos 9π:
V=9piintegral0^3x,dx=9pi[x^22]0^3
Calculando
x^22|0^3=92
Portanto
V=9picdot92=812pi.

Resposta

812pi

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