[18] Calcule, usando integral dupla, o volume:
do sólido limitado pelo plano z=0 e pelo parabolóide z=1-x^2-y^2 ( use coordenadas polares).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado abaixo pelo plano z=0 e acima pelo paraboloide z = 1 - x^2 - y^2. O conteúdo principal aqui é volume por integral dupla e vamos usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Para achar o volume, usamos a fórmula de volume por integral dupla: V = integral duplaD [ztopo - zfundo] ,dA. Aqui temos ztopo = 1 - x^2 - y^2 e zfundo = 0. A região D no plano xy é o disco definido pela interseção quando 1 - x^2 - y^2 = 0, ou seja x^2 + y^2 = 1.
Na prática, trocamos para coordenadas polares usando x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta. O integrando 1 - x^2 - y^2 vira 1 - r^2. Assim,
V = integral0^2pi integral0^1 (1 - r^2) ;r;dr;dtheta

Passo 3

Agora basta calcular a integral iterada. Primeiro a integral em r:
integral0^1 (1 - r^2),r,dr = integral0^1 (r - r^3),dr = l[tfracr^22 - tfracr^44r]0^1 = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14

Passo 4

Em seguida a integral em theta:
V = integral0^2pi tfrac14 ,dtheta = tfrac14 cdot 2pi = tfracpi2

Resposta

pi2

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