Questão 1. Calcule as integrais ao longo das curvas indicadas utilizando a parametrização dada ou qualquer outra parametrização que venha a ser mais útil:
integralC|z|^2 d z, ao longo da curva C descrita parametricamente por x=t^2 e y=1t, onde 1 <= t<2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral complexa integralC |z|^2,dz, onde a curva C está parametrizada por x=t^2 e y=1/t, com 1<= t<2. O conteúdo aqui é integral de linha em campo complexo, e vamos usar a parametrização z(t)=x(t)+i,y(t) e a fórmula integralC f(z),dz=integrala^b fl(z(t)r),z'(t),dt.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a parametrização de z e calculamos sua derivada. Temos
z(t)=t^2+it, 1<= t<=2
z'(t)=ddtl(t^2+itr)=2t-it^2

Passo 3

Em seguida, calculamos |z(t)|^2=x(t)^2+y(t)^2. Como x(t)=t^2 e y(t)=1/t,
|z(t)|^2=t^4+1t^2

Passo 4

Então substituímos na integral:
integralC|z|^2,dz=integral1^2l(t^4+tfrac1t^2r)l(2t-tfracit^2r)dt

Passo 5

Agora expandimos o produto dentro da integral:
l(t^4+tfrac1t^2r)l(2t-tfracit^2r)=2t^5- i,t^2+2t^-1-i,t^-4

Passo 6

Dividimos em integrais separadas e calculamos cada uma:
integral1^22t^5dt=l[tfrac2t^66r]1^2=21,
integral1^22t^-1dt=2[ln t]1^2=2ln2,
integral1^2(-i)t^2dt=-il[tfract^33r]1^2=-icdottfrac73,
integral1^2(-i)t^-4dt=-il[ -tfrac13t^3r]1^2=-icdottfrac724

Passo 7

Somando as partes real e imaginária temos
integralC|z|^2,dz=21+2ln2;-tfrac218i

Resposta

21+2ln2-tfrac218i

Exercícios relacionados