Calcule os seguintes limites usando L’Hopital quando possível

Passo 1

Estamos calculando o limite limxto0+l(1/x^2 - 1/sin xr). Observamos que 1/x^2to+infty e 1/sin xto+infty quando xto0+, então a forma é infty-infty. Para usar L’Hôpital, precisamos reescrever como fração.

Passo 2

Juntamos as parcelas em um único quociente:
[
\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - x2}{x2,\sin x}.
]
Dessa forma o limite vira limxto0+(sin x - x^2)/(x^2sin x).

Passo 3

Ao levar xto0+, o numerador sin x - x^2to0 e o denominador x^2sin xto0. Temos uma indeterminação 0/0, portanto aplicamos a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador.

Passo 4

Derivando termo a termo:
  • Se f(x)=sin x - x^2, então f'(x)=cos x - 2x.
  • Se g(x)=x^2sin x, então
    [
    g’(x)=2x\sin x + x^2\cos x.
    ]
    O limite passa a ser
    [
    \lim_{x\to0+}\frac{\cos x - 2x}{2x\sin x + x^2\cos x}.
    ]
    Quando xto0+, o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0^+, logo a fração diverge para +infty.

Resposta

O limite diverge para +∞

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