Calcule os seguintes limites usando L’Hopital quando possível
Passo 1
Estamos calculando o limite
. Observamos que
e
quando
, então a forma é
. Para usar L’Hôpital, precisamos reescrever como fração.
Passo 2
Juntamos as parcelas em um único quociente:
[
\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - x2}{x2,\sin x}.
]
Dessa forma o limite vira .
[
\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - x2}{x2,\sin x}.
]
Dessa forma o limite vira
Passo 3
Ao levar
, o numerador
e o denominador
. Temos uma indeterminação
, portanto aplicamos a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador.
Passo 4
Derivando termo a termo:
- Se
, então . - Se
, então
[
g’(x)=2x\sin x + x^2\cos x.
]
O limite passa a ser
[
\lim_{x\to0+}\frac{\cos x - 2x}{2x\sin x + x^2\cos x}.
]
Quando, o numerador tende a e o denominador tende a , logo a fração diverge para .
Resposta
O limite diverge para +∞