18- Considerando um sistema de
grau com duas equações representadas em um mesmo plano cartesiano e formando duas retas sobrepostas. Sobre esse sistema é correto afirmar que:
a) É um sistema possível e determinado;
b) É um sistema impossível;
c) É um sistema possível e indeterminado;
a) É um sistema possível e determinado;
b) É um sistema impossível;
c) É um sistema possível e indeterminado;
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de
grau (ou seja, um sistema linear de duas equações de primeiro grau em duas incógnitas) cujas duas equações, quando representadas no plano cartesiano, formam duas retas sobrepostas. As perguntas implícitas são: o sistema é possível e determinado, impossível ou possível e indeterminado? As informações relevantes dadas são:
- Há duas equações lineares representadas por duas retas no mesmo plano.
- As retas são sobrepostas (isto é, coincidem exatamente: ocupam a mesma linha no plano).
Passo 2
Vamos entender o que significam as três classificações propostas (sem ainda resolver nada):
- Sistema possível e determinado: significa que o sistema tem exatamente uma solução (as retas se intersectam em um único ponto).
- Sistema impossível: significa que o sistema não tem solução alguma (as retas são paralelas e distintas, nunca se encontram).
- Sistema possível e indeterminado: significa que o sistema tem infinitas soluções (as equações representam exatamente a mesma reta; todo ponto dessa reta é solução).
Passo 3
Agora vou explicar de forma prática como reconhecer cada caso, com a linguagem das equações. Escrevemos duas retas numa forma geral:
onde
são números (os coeficientes das equações). O que importa é como esses coeficientes se relacionam:
- Se
, as retas têm inclinações diferentes e se cortam em exatamente um ponto → sistema possível e determinado. - Se
, as retas são paralelas e distintas → sistema impossível. - Se
, as duas equações são múltiplos uma da outra e representam a mesma reta → infinitas soluções → sistema possível e indeterminado.
Explicando por que: para duas retas coincidentes todos os coeficientes são proporcionais pela mesma constante, então uma equação é exatamente um múltiplo da outra e qualquer par
que satisfaça uma satisfaz a outra; há, portanto, infinitas soluções (todos os pontos da reta).
Passo 4
Agora aplicando ao enunciado: ele diz explicitamente que as duas retas são “sobrepostas”, isto é, coincidem. Isso corresponde exatamente ao terceiro item da regra algébrica acima, ou seja:
Logo, o sistema possui infinitas soluções — é possível (existem soluções) e indeterminado (há mais de uma, na verdade infinitas).
Passo 5
Um exemplo numérico curto para fixar (só para você ver na prática): as equações
e
são coincidentes porque a segunda é exatamente a primeira dividida por
. Qualquer solução da segunda é solução da primeira; há infinitos pontos
sobre essa reta — por isso é sistema possível e indeterminado. Contrastando, se a segunda fosse
(não proporcional ao
), teríamos retas paralelas e sistema impossível.
Passo 6
Motivação final e incentivo: quando vir “retas coincidentes/sobrepostas” trate logo como indicador de infinitas soluções. Na prova, basta reconhecer proporcionalidade total dos coeficientes ou a descrição geométrica “mesma reta” para marcar “possível e indeterminado”. Vai dar certo — respira fundo e confia no raciocínio.
Resposta
c) É um sistema possível e indeterminado.