20- Quatro amigas foram ao cinema e reservam quatro poltronas juntas, porém, Ana e Maria brigaram e não queriam ficar uma do lado da outra. Uma expressão correta para mostrar todas as possibilidades para que Ana e Maria não fiquem sentadas uma ao lado da outra é:
a)
!
b)
!
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado diz que quatro amigas vão sentar em quatro poltronas juntas (em fila), mas Ana e Maria não querem ficar uma ao lado da outra. O que se pede é uma expressão correta que mostre todas as possibilidades em que Ana e Maria não ficam sentadas lado a lado. Informações relevantes:
- Temos
pessoas distintas (Ana, Maria e mais duas amigas). - As
poltronas estão em fila (ordem importa). - Condição: Ana e Maria não podem ocupar poltronas adjacentes.
A partir disso precisamos encontrar a quantidade de arranjos que satisfazem a condição e comparar com as alternativas dadas.
Passo 2
Calcular o número total de maneiras de sentar as
amigas sem restrição.
Definição: para objetos distintos, o número de permutações é
, onde
Definição: para
Aqui
, logo o total de arranjos sem restrição é
Passo 3
Contar as configurações em que Ana e Maria estão sentadas juntas (para depois subtrair do total). Método do bloco: trate Ana e Maria como um único “bloco” temporário. Assim temos o bloco (AM) mais as outras
amigas, total de
objetos a permutar. O número de permutações desses
objetos é
Dentro do bloco, Ana e Maria podem trocar de ordem entre si: há
maneiras internas (
ou
). Portanto o número de arranjos com Ana e Maria juntas é
Passo 4
Agora aplicamos a ideia “total menos os que estão juntos” para obter os que NÃO estão juntos:
Assim existem
arranjos onde Ana e Maria não ficam lado a lado.
Passo 5
Verificação alternativa (contagem direta) para dar confiança no resultado: posicione Ana primeiro. Há
escolhas de cadeira para Ana.
- Se Ana estiver numa das extremidades (posições
ou ): isso acontece em escolhas; a Maria não pode ficar na cadeira adjacente (1 proibida), então ela tem cadeiras possíveis; depois as amigas restantes ocupam as cadeiras sobrando de maneiras. Contribuição: . - Se Ana estiver numa das posições do meio (posições
ou ): isso acontece em escolhas; a Maria não pode ficar em nenhuma das duas adjacentes, restando cadeira possível; as outras amigas se arranjam em maneiras. Contribuição: .
Total, que confirma o resultado anterior.
Passo 6
Comparando com as alternativas: a expressão que encontramos é
Note que
. A alternativa (a) está escrita como
, que é exatamente a mesma expressão. As alternativas (b) e (c) dão valores diferentes. Portanto a alternativa correta é a (a).
Resposta
(a)