20- Quatro amigas foram ao cinema e reservam quatro poltronas juntas, porém, Ana e Maria brigaram e não queriam ficar uma do lado da outra. Uma expressão correta para mostrar todas as possibilidades para que Ana e Maria não fiquem sentadas uma ao lado da outra é:
a) 4!-2.3 !
b) 4!-3 !
c) 3!-2!

Passo 1

O enunciado diz que quatro amigas vão sentar em quatro poltronas juntas (em fila), mas Ana e Maria não querem ficar uma ao lado da outra. O que se pede é uma expressão correta que mostre todas as possibilidades em que Ana e Maria não ficam sentadas lado a lado. Informações relevantes:
  • Temos 4 pessoas distintas (Ana, Maria e mais duas amigas).
  • As 4 poltronas estão em fila (ordem importa).
  • Condição: Ana e Maria não podem ocupar poltronas adjacentes.
    A partir disso precisamos encontrar a quantidade de arranjos que satisfazem a condição e comparar com as alternativas dadas.

Passo 2

Calcular o número total de maneiras de sentar as 4 amigas sem restrição.
Definição: para n objetos distintos, o número de permutações é n!, onde
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 1.
Aqui n=4, logo o total de arranjos sem restrição é
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.

Passo 3

Contar as configurações em que Ana e Maria estão sentadas juntas (para depois subtrair do total). Método do bloco: trate Ana e Maria como um único “bloco” temporário. Assim temos o bloco (AM) mais as outras 2 amigas, total de 3 objetos a permutar. O número de permutações desses 3 objetos é
3! = 6.
Dentro do bloco, Ana e Maria podem trocar de ordem entre si: há 2! maneiras internas ( AM ou MA). Portanto o número de arranjos com Ana e Maria juntas é
3!\cdot 2! = 6\cdot 2 = 12.

Passo 4

Agora aplicamos a ideia “total menos os que estão juntos” para obter os que NÃO estão juntos:
\text{Não-adjacentes} = 4! - (3!\cdot 2!) = 24 - 12 = 12.ã
Assim existem 12 arranjos onde Ana e Maria não ficam lado a lado.

Passo 5

Verificação alternativa (contagem direta) para dar confiança no resultado: posicione Ana primeiro. Há 4 escolhas de cadeira para Ana.
  • Se Ana estiver numa das extremidades (posições 1 ou 4): isso acontece em 2 escolhas; a Maria não pode ficar na cadeira adjacente (1 proibida), então ela tem 2 cadeiras possíveis; depois as 2 amigas restantes ocupam as 2 cadeiras sobrando de 2! maneiras. Contribuição: 2\cdot 2\cdot 2! = 8.
  • Se Ana estiver numa das posições do meio (posições 2 ou 3): isso acontece em 2 escolhas; a Maria não pode ficar em nenhuma das duas adjacentes, restando 1 cadeira possível; as outras 2 amigas se arranjam em 2! maneiras. Contribuição: 2\cdot 1\cdot 2! = 4.
    Total 8+4 = 12, que confirma o resultado anterior.

Passo 6

Comparando com as alternativas: a expressão que encontramos é
4! - 3!\cdot 2!.
Note que 3!\cdot 2! = 2\cdot 3!. A alternativa (a) está escrita como 4! - 2\cdot 3!, que é exatamente a mesma expressão. As alternativas (b) e (c) dão valores diferentes. Portanto a alternativa correta é a (a).

Resposta

(a)

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