22- Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário. O sistema binário ou de base 2 é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam com base em dois números, ou seja, zero e um ( 0 e 1). Em relação ao número binário " 0101 ", analise as afirmações abaixo.
I- É um número primo;
II- É um número ímpar;
III- É um divisor de 4;
São afirmações corretas apenas:
a) Iell
b) Ie III
c) II e III

Passo 1

O enunciado dá o número binário \text{0101}_2 e pede que eu analise três afirmações sobre esse número:
I- É um número primo;
II- É um número ímpar;
III- É um divisor de 4.
Preciso dizer quais das afirmações são corretas e escolher entre as alternativas:
a) I e II
b) I e III
c) II e III

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar o número binário \text{0101}_2 em seu valor em base decimal para trabalhar de forma mais familiar. Vou explicar como fazer isso: num sistema posicional de base 2, cada dígito (bit) vale 2 elevado à posição, contando da direita para a esquerda a partir de 0. Então, para \text{0101}_2 os pesos são:
2^3,\,2^2,\,2^1,\,2^0 correspondendo aos dígitos 0,1,0,1 respectivamente.

Passo 3

Agora calculamos contribuição de cada dígito:
o primeiro dígito (à esquerda) é 0 vezes 2^3: 0\cdot 2^3 = 0.
o segundo dígito é 1 vezes 2^2: 1\cdot 2^2 = 1\cdot 4 = 4.
o terceiro dígito é 0 vezes 2^1: 0\cdot 2^1 = 0.
o quarto dígito (mais à direita) é 1 vezes 2^0: 1\cdot 2^0 = 1\cdot 1 = 1.
Somando as contribuições:
0 + 4 + 0 + 1 = 5.
Portanto \text{0101}_2 = 5 em decimal.

Passo 4

Explicando o conceito usado na afirmação I: o que é um número primo?
Um número primo é um inteiro maior que 1 cuja única divisões inteiras possíveis (sem resto) são por 1 e por ele mesmo. Em outras palavras, não tem divisores inteiros positivos além de 1 e do próprio número.

Passo 5

Agora verifico se 5 é primo. Testo possíveis divisores menores que 5: 2,\,3,\,4.
  • Divisão por 2: 5 não é par, sobra 1, então 2 não divide 5.
  • Divisão por 3: 3 cabe uma vez com resto 2, então 3 não divide 5.
  • Divisão por 4: 4 cabe uma vez com resto 1, então 4 não divide 5.
Nenhum desses divide 5; portanto os únicos divisores positivos de 5 são 1 e 5. Logo 5 é primo. Conclusão: a afirmação I é verdadeira.

Passo 6

Explicando o conceito usado na afirmação II: o que é um número ímpar?
Um número inteiro é ímpar se não é divisível por 2, ou seja, deixa resto 1 quando dividido por 2. Equivalentemente, sua forma é 2k+1 para algum inteiro k.

Passo 7

Verifico 5: como 5 = 2\cdot 2 + 1, tem resto 1 na divisão por 2. Logo 5 é ímpar. Conclusão: a afirmação II é verdadeira.

Passo 8

Explicando o conceito usado na afirmação III: a é divisor de b significa que b dividido por a dá um inteiro (sem resto). A afirmação III diz que o número (que vimos ser 5) é divisor de 4; isto é, pergunta se 5 divide 4.

Passo 9

Verifico 4 dividido por 5: 5 não cabe nem uma vez inteira em 4 (ficaria quociente 0 e resto 4). Portanto 5 não divide 4. Conclusão: a afirmação III é falsa.

Passo 10

Resumo das conclusões:
I é verdadeira ( \text{0101}_2 = 5, que é primo).
II é verdadeira ( 5 é ímpar).
III é falsa ( 5 não divide 4 ).
Portanto as afirmações corretas são I e II.

Resposta

a) I e II

Exercícios relacionados