3.18 Dada uma função f assuma que a derivada direcional
Dv f(1,1)=3 raiz5
e
Dw f(1,1)=5 raiz5 sendo v=(1raiz5, 2raiz5) e w=(2raiz5, 1raiz5) Encontre nabla f(1,1)

Passo 1

O enunciado diz que as derivadas direcionais de uma função f em (1,1) nas direções unitárias v e w valem D_v f(1,1)=3√5 e D_w f(1,1)=5√5. O conteúdo principal é derivada direcional e gradiente, e vamos usar que em um ponto D_u f = ∇f · u.

Passo 2

Seja ∇f(1,1) = (a,b). Como v e w são vetores unitários, temos
a1raiz5 + b2raiz5 = 3raiz5,
a2raiz5 + b1raiz5 = 5raiz5

Passo 3

Multiplicando cada equação por raiz5 obtemos o sistema linear:
a + 2b = 15,
2a + b = 25

Passo 4

Agora resolvemos o sistema por eliminação: multiplicando a primeira equação por 2 dá
2a + 4b = 30
Subtraindo a segunda,
(2a+4b)-(2a+b)=30-25 implies 3b = 5 implies b = tfrac53

Passo 5

Em seguida, de a+2b=15 temos
a = 15 - 2cdottfrac53 = tfrac45-103 = tfrac353

Resposta

nabla f(1,1) = l(tfrac353,,tfrac53r)

Exercícios relacionados