Calcule as seguintes derivadas:
e^xsen(3 x)+cos (x) 2^x

Passo 1

Temos a função f(x) = e^xsen(3x) + cos(x)2^x. O conteúdo da matéria é derivação de quociente, e vamos usar a regra do quociente, a regra da cadeia e a regra do produto, além das derivadas básicas de e^x, sen(x), cos(x) e 2^x.

Passo 2

Definimos g(x)=e^x e h(x)=sen(3x)+cos(x)2^x. Pela regra do quociente, a derivada é dada por
f'(x) = g'(x),h(x) - g(x),h'(x)[h(x)]^2

Passo 3

Calculamos as derivadas auxiliares:
Para g(x)=e^x, temos g'(x)=e^x.
Para h(x)=sen(3x)+cos(x)2^x, aplicamos:
  • regra da cadeia em sen(3x): ddxsen(3x)=3cos(3x).
  • regra do produto em cos(x)2^x: definindo u(x)=cos(x), v(x)=2^x, temos u'(x)=-sin(x) e v'(x)=2^xln2, logo
ddx[cos(x)2^x] = -sin(x)2^x + cos(x)2^xln2
Combinando,
h'(x) = 3cos(3x) - sin(x)2^x + cos(x)2^xln2

Passo 4

Agora substituímos em f'(x) e simplificamos o numerador:
f'(x) = e^x[sen(3x)+cos(x)2^x] - e^x[3cos(3x) - sin(x)2^x + cos(x)2^xln2][sen(3x)+cos(x)2^x]^2
Colocando e^x em evidência e agrupando termos com 2^x:
f'(x) = e^xl(sen(3x)-3cos(3x)+2^x[sin(x)+cos(x)(1-ln2)]r)[sen(3x)+cos(x)2^x]^2

Resposta

f'(x) = e^xl(sen(3x)-3cos(3x)+2^x[sin(x)+cos(x)(1-ln2)]r)[sen(3x)+cos(x)2^x]^2

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