Calcular $ \int_{C} \vec{F}$.d $ \vec{r}$ :
e
é o circulo de centro
e de raio
percorrido no sentido horario.
Passo 1
A gente tem o campo vetorial
e a curva
é o círculo de centro
e raio
, percorrido no sentido horário. O assunto é integral de linha de campos vetoriais e vamos usar o Teorema de Green para converter em integral dupla sobre o disco interno.
Passo 2
O Teorema de Green estabelece que para uma curva fechada simples orientada positivamente (anti-horário) vale
Como nosso círculo está orientado no sentido horário, a integral de linha será o negativo desse valor.
Passo 3
Identificamos as componentes do campo:
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
.
Passo 4
A região
é o disco de centro
e raio
. Precisamos de
Num disco,
e
, onde
. Então
Passo 5
Como a curva está orientada no sentido horário, a integral de linha é o negativo da integral dupla calculada, resultando em
.