Calcular $ \int_{C} \vec{F}$.d $ \vec{r}$ :
integralC F e r é o circulo de centro C e de raio (a, b) percorrido no sentido horario.

Passo 1

A gente tem o campo vetorial vec F(x,y) = (y^2, x^2) e a curva C é o círculo de centro (a,b) e raio c, percorrido no sentido horário. O assunto é integral de linha de campos vetoriais e vamos usar o Teorema de Green para converter em integral dupla sobre o disco interno.

Passo 2

O Teorema de Green estabelece que para uma curva fechada simples orientada positivamente (anti-horário) vale
ointC vec F cdot dvec r = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) dA
Como nosso círculo está orientado no sentido horário, a integral de linha será o negativo desse valor.

Passo 3

Identificamos as componentes do campo: P(x,y) = y^2 e Q(x,y) = x^2. Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 2x, partial Ppartial y = 2y
Logo o integrando é 2x - 2y = 2(x-y).

Passo 4

A região D é o disco de centro (a,b) e raio c. Precisamos de
integral duplaD 2(x-y),dA = 2gl( integral duplaD x,dA - integral duplaD y,dA gr)
Num disco, integral duplaD x,dA = acdot área(D)á e integral duplaD y,dA = bcdot área(D)á, onde área(D) = pi c^2á. Então
integral duplaD 2(x-y),dA = 2l(a-br)pi c^2

Passo 5

Como a curva está orientada no sentido horário, a integral de linha é o negativo da integral dupla calculada, resultando em -2pi c^2(a-b) = 2pi c^2(b-a).

Resposta

-2pi c^2 (a - b)

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