Determine a derivada d yd x das funções:

Passo 1

O enunciado dá a função y=integralraizx^0sin(t^2),dt. O conteúdo aqui é a derivada de uma integral com limite dependente de x, então vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, invertemos os limites da integral para facilitar: y=-integral0^raizxsin(t^2),dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F(u)=integral0^uf(t),dt então F'(u)=f(u). Como nosso limite superior é u(x)=raizx, temos
y'=-;sinl(u(x)^2r);u'(x)

Passo 3

Agora aplicamos u(x)=raizx=x^1/2, logo u'(x)=tfrac12x^-1/2=tfrac12raizx. Notando que u(x)^2=(raizx)^2=x, obtemos
y'=-sin(x)cdot12raizx=-sin(x)2raizx

Resposta

-sin(x)2raizx

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