19- Determine a derivada direcional da função f(x, y)=x^{2} y^{3}-4 y no ponto (2,-1) na direção do vetor v=2 i+5 j

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y no ponto (2,-1) ao longo da direção do vetor \mathbf{v}=2\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e a definição de derivada direcional, que é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\,y^{3},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}y^{2}-4.

Passo 3

Avaliamo-las no ponto (2,-1):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1)=2\cdot2\cdot(-1)^{3}=4\cdot(-1)=-4,
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-1)=3\cdot2^{2}\cdot(-1)^{2}-4=3\cdot4\cdot1-4=12-4=8.
Portanto
\nabla f(2,-1)=(-4,\;8).

Passo 4

Encontramos o vetor unitário na direção de \mathbf{v}=(2,5). Primeiro a norma:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
Logo
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} =\Bigl(\frac{2}{\sqrt{29}},\;\frac{5}{\sqrt{29}}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar de \nabla f(2,-1) por \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(2,-1) =\nabla f(2,-1)\cdot\mathbf{u} =(-4)\cdot\frac{2}{\sqrt{29}}+8\cdot\frac{5}{\sqrt{29}} =\frac{-8+40}{\sqrt{29}} =\frac{32}{\sqrt{29}}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{\sqrt{29}}

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