28-Sejam (1,1) ;(2,3) ; e(3,-1) os vértices de um triângulo. Qual é o ponto (x, y) tal que a soma dos quadrados de suas distâncias aos vértices é a menor possível?

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo cujos vértices são (1,1), (2,3) e (3,-1). Precisamos encontrar o ponto (x,y) que minimiza a soma dos quadrados das distâncias até esses vértices. Como essa soma é uma função quadrática convexa em (x,y), podemos usar o método de encontrar o ponto crítico fazendo o gradiente igual a zero.

Passo 2

Definimos a função objetivo f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} como a soma dos quadrados das distâncias:
f(x,y) \;=\; \sum_{i=1}^{3}\bigl((x-x_i)^2 + (y-y_i)^2\bigr)
onde (x_1,y_1)=(1,1), (x_2,y_2)=(2,3) e (x_3,y_3)=(3,-1).

Passo 3

Calculamos a condição \partial f/\partial x=0:
\frac{\partial f}{\partial x} =2\sum_{i=1}^{3}(x - x_i) =0 \quad\Longrightarrow\quad 3x = x_1 + x_2 + x_3 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1+2+3}{3} = 2.

Passo 4

De modo análogo, impomos \partial f/\partial y=0:
\frac{\partial f}{\partial y} =2\sum_{i=1}^{3}(y - y_i) =0 \quad\Longrightarrow\quad 3y = y_1 + y_2 + y_3 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1+3+(-1)}{3} = 1.

Resposta

O ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias é (2,1).

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