28-Sejam
os vértices de um triângulo. Qual é o ponto
tal que a soma dos quadrados de suas distâncias aos vértices é a menor possível?
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo cujos vértices são
,
e
. Precisamos encontrar o ponto
que minimiza a soma dos quadrados das distâncias até esses vértices. Como essa soma é uma função quadrática convexa em
, podemos usar o método de encontrar o ponto crítico fazendo o gradiente igual a zero.
Passo 2
Definimos a função objetivo
como a soma dos quadrados das distâncias:
onde
,
e
.
Passo 3
Calculamos a condição
:
Passo 4
De modo análogo, impomos
:
Resposta
O ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias é
.