18 Determine as coordenadas do polinômio p(t)=1+2 t-t^3 in P3(R) em relação:
(a) A base canônica de P3(R).
(b) A base 1,1-t, 1-t^2, 1-t^3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(t)=1+2t - t^3
em P3(R) e pede suas coordenadas em duas bases:
  1. a base canônica 1,t,t^2,t^3,
  2. a base 1,;1-t,;1-t^2,;1-t^3.
    Para resolver, vamos usar a definição: as coordenadas de p numa base v1,dots,v4 são os escalares ci tais que
p(t)=c1v1(t)+c2v2(t)+c3v3(t)+c4v4(t)

Passo 2

Na base canônica 1,t,t^2,t^3, o polinômio já está escrito como
p(t)=1cdot1 + 2cdot t + 0cdot t^2 + (-1)cdot t^3
Logo, as coordenadas de p nessa base são
(1,,2,,0,,-1)

Passo 3

Na base 1,;1-t,;1-t^2,;1-t^3, chamemos os escalares de coordenadas de c1,c2,c3,c4 e escrevamos
p(t)=c1cdot1 + c2,(1-t) + c3,(1-t^2) + c4,(1-t^3)

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando termos em potências de t, obtemos:
constante: c1 + c2 + c3 + c4
coeficiente de t: -c2
coeficiente de t^2: -c3
coeficiente de t^3: -c4.
Igualando aos coeficientes de p(t)=1+2t+0cdot t^2+(-1)t^3, vem o sistema
c1 + c2 + c3 + c4 = 1, -,c2 = 2, -,c3 = 0, -,c4 = -1

Passo 5

Da segunda, terceira e quarta equações temos
c2 = -2, c3 = 0, c4 = 1
Substituindo na primeira dá
c1 + (-2) + 0 + 1 = 1 ;Longrightarrow; c1 = 2
Portanto as coordenadas de p nessa base são
(2,,-2,,0,,1)

Resposta

(a) (1,2,0,-1)
(b) (2,-2,0,1)

Exercícios relacionados