1.18 Encontre uma matriz 3 times 3 ortogonal A cuja duas primeiras linhas sejam múltiplos dos vetores u1=(1,1,1) e u2=(0,-1,1), respectivamente. Observação: os vetores u1 e u2 são ortogonais, conforme exige a definição de matr g(x)=x^2-3 x+17 izes ortogonal. Portanto, u3 é obtido do produto vetorial u1 times u2 e os vetores têm que ser normalizados (ou módulo igual a 1 ).

Passo 1

O enunciado pede uma matriz ortogonal AinR^3times3 cujas duas primeiras linhas sejam múltiplos dos vetores u1=(1,1,1) e u2=(0,-1,1). Como A é ortogonal, suas linhas devem formar um sistema ortonormal em R^3. Vamos então normalizar u1 e u2 e obter a terceira linha por u1timesu2, também normalizada.

Passo 2

Calculemos as normas de u1 e u2:
|u1|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3, |u2|=raiz0^2+(-1)^2+1^2=raiz2
Logo os dois primeiros vetores unitários são
e1=1raiz3(1,1,1), e2=1raiz2(0,-1,1)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial
u3=u1timesu2 =(1,1,1)times(0,-1,1)=(2,-1,-1)
A norma de u3 é
|u3|=raiz2^2+(-1)^2+(-1)^2=raiz6,
e assim o vetor unitário
e3=1raiz6(2,-1,-1)

Passo 4

Como e1,e2,e3 é um sistema ortonormal, basta montar A cujas linhas são esses vetores:
A = e1 e2 e3 = 1raiz3 & 1raiz3 & 1raiz3[6pt] 0 & -1raiz2 & 1raiz2[6pt] 2raiz6 & -1raiz6 & -1raiz6 ]

Resposta

A = 1raiz3 & 1raiz3 & 1raiz3[6pt] 0 & -1raiz2 & 1raiz2[6pt] 2raiz6 & -1raiz6 & -1raiz6 ]

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