1.19 Dada a matriz A=[cc2 & -5 3 & 1]. Encontre:
a) A^2 e A^3
b) f(A), se f(x)=x^3-2 x-22
c) g(A), se g(x)=x^2-3 x+17
d) f(A)-g(A)
e) f(A) g(A)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & -5 3 & 1
e pede para calcular potências de matriz e aplicar polinômios a ela. O conteúdo aqui é cálculo de potências (multiplicação de matrizes) e substituição de matriz em polinômios.

Passo 2

Para obter A^2, multiplicamos A por ela mesma:
A^2 = 2 & -5 3 & 1 2 & -5 3 & 1 = 2cdot2 + (-5)cdot3 & 2cdot(-5) + (-5)cdot1 3cdot2 + 1cdot3 & 3cdot(-5) + 1cdot1 = -11 & -15 9 & -14

Passo 3

Para obter A^3, multiplicamos A^2 por A:
A^3 = -11 & -15 9 & -14 2 & -5 3 & 1 = -11cdot2 + (-15)cdot3 & -11cdot(-5) + (-15)cdot1 9cdot2 + (-14)cdot3 & 9cdot(-5) + (-14)cdot1 = -67 & 40 -24 & -59

Passo 4

Para f(A) com f(x)=x^3 - 2x - 22, usamos
f(A) = A^3 ;- 2,A;-;22,I
Já temos A^3 e A, e
-2,A = -4 & 10 -6 & -2, 22,I = 22 & 0 0 & 22
Somando:
f(A) = -67 & 40 -24 & -59 + -4 & 10 -6 & -2 - 22 & 0 0 & 22 = -93 & 50 -30 & -83

Passo 5

Para g(A) com g(x)=x^2 - 3x + 17, usamos
g(A) = A^2 ;- 3,A;+;17,I
Já temos A^2 e A, e
-3,A = -6 & 15 -9 & -3, 17,I = 17 & 0 0 & 17
Somando:
g(A) = -11 & -15 9 & -14 + -6 & 15 -9 & -3 + 17 & 0 0 & 17 = 0 & 0 0 & 0

Passo 6

Como g(A) é a matriz nula, temos
f(A) - g(A) = f(A) = -93 & 50 -30 & -83

Passo 7

E também
f(A),g(A) = -93 & 50 -30 & -83 0 & 0 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0

Resposta

a) A^2 = -11 & -15 9 & -14, A^3 = -67 & 40 -24 & -59.
b) f(A) = -93 & 50 -30 & -83.
c) g(A) = 0 & 0 0 & 0.
d) f(A) - g(A) = -93 & 50 -30 & -83.
e) f(A),g(A) = 0 & 0 0 & 0.

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